마플시너지공통수학2풀이해설0920고퀄리티 풀이영상제공0920 대우를 이용한 명제의 증명 (부정형 결론 문제)

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[문제 920] 핵심 개념 및 풀이 전략

명제의 대우를 이용하여, 원래 명제가 참이 되도록 하는 미지수의 범위를 찾는 문제입니다.

접근법:
1. ‘x>a 이면 x²-8x-20≠0 이다’ 라는 명제가 참이 되기 위한 조건을 직접 구하기는 어렵습니다.
2. **원래 명제와 대우는 참/거짓을 함께**하므로, 이 명제의 **대우**가 참이 될 조건을 대신 구합니다.
3. (대우) ‘x²-8x-20=0 이면 x≤a 이다.’
4. 이차방정식 x²-8x-20=0의 해를 구합니다. (x=10 또는 x=-2)
5. 이 해들이 모두 결론(x≤a)을 만족해야 합니다. 즉, 10≤a 이고 -2≤a 여야 합니다.
6. 두 조건을 모두 만족하는 a의 범위는 a≥10 이므로, a의 최솟값은 10입니다.

주의할 점:
‘~가 아니다(≠)’ 와 같은 부정적인 결론을 가진 명제는, 대우를 취하여 긍정적인 결론(‘~이다(=)’)으로 바꾸어 풀면 훨씬 쉬워집니다.

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대우를 이용한 명제의 증명 (부정형 결론 문제)