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[문제 782] 핵심 개념 및 풀이 전략
독특한 규칙으로 정의된 함수 m(A)에 대해, 모든 부분집합의 함숫값의 총합을 구하는 최고난도 문제입니다.
접근법:
1. 규칙을 분석하면, m(A)는 A의 원소를 큰 수부터 +와 -를 번갈아 계산합니다.
2. (규칙성 찾기) 집합 A와, A에 가장 큰 원소(5)를 추가한 집합 B=A∪{5}의 함숫값 관계를 봅니다. m(B) = 5 – m(A) 입니다. 즉, m(A) + m(B) = 5.
3. {1,2,3,4,5}의 모든 부분집합(32개)은, 5를 포함하지 않는 부분집합(16개)과 5를 포함하는 부분집합(16개)으로 나눌 수 있습니다.
4. 이 둘은 1:1로 짝지을 수 있으며, 각 쌍의 함숫값의 합은 항상 5가 됩니다.
5. 따라서 공집합을 제외한 31개 부분집합의 함숫값 총합은 (16쌍 × 5) – m(∅) 입니다. 문제의 정의상 공집합은 없으므로 총 15쌍과 {5}가 남습니다. 총합은 15*5 + m({5}) 입니다.
주의할 점:
함숫값의 규칙성을 파악하여 모든 값을 직접 계산하지 않고 총합을 구하는 아이디어를 떠올리는 것이 핵심입니다.
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규칙적으로 정의된 함수의 총합 구하기