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[문제 768] 핵심 개념 및 풀이 전략
원소 개수 조건이 추가된, 각 부분집합의 가장 큰 원소들의 합을 구하는 문제입니다.
접근법:
1. 각 원소가 ‘가장 큰 원소’로서 몇 번이나 선택되는지를 셉니다.
2. (9가 최대 원소인 경우) 9를 반드시 포함하고, 9보다 큰 원소는 없는(당연) 부분집합 중, 원소 개수가 2 이상인 것을 셉니다. 9를 제외한 나머지 {1,3,5,7} (4개)로 만드는 부분집합(2⁴개)에 9를 추가하면 되는데, 공집합에 9를 추가한 {9}는 원소가 1개이므로 제외합니다. (2⁴ – 1)번 등장.
3. (7이 최대 원소인 경우) 7을 반드시 포함하고 9는 포함하지 않는 부분집합 중, 원소 개수가 2 이상인 것을 셉니다. 7,9 제외한 {1,3,5}(3개)로 만드는 부분집합(2³개) 중, 공집합 제외. (2³ – 1)번 등장.
4. 이 규칙을 반복하고, 최종 합 = (9 × (2⁴-1)) + (7 × (2³-1)) + … 를 계산합니다.
주의할 점:
최대 원소 문제는 ‘그 원소보다 큰 원소는 모두 제외’하는 조건이 숨어있으며, ‘원소 개수 2 이상’ 조건 때문에 각 경우에서 1씩 빼주어야 합니다.
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각 부분집합의 최대 원소들의 총합 구하기