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[문제 501] 핵심 개념 및 풀이 전략
x축에 접하는 원의 중심이 이차함수 위에 있고, 또 다른 직선에도 접할 조건을 이용하는 고난도 문제입니다.
접근법:
1. 원의 중심을 (a, b)라 하면, 중심이 이차함수 위에 있으므로 b=a²+1 입니다.
2. 원이 x축에 접하므로 반지름 r = |중심의 y좌표| = |a²+1| 입니다. a²+1은 항상 양수이므로 r=a²+1 입니다.
3. 이 원이 직선 4x-3y-3=0 과도 접하므로, 원의 중심 (a, a²+1)과 이 직선 사이의 거리가 반지름 a²+1과 같다는 등식을 세웁니다.
4. 이 등식을 풀면 a에 대한 이차방정식이 나오며, 두 근이 두 원의 중심 x좌표가 됩니다.
5. 두 원의 반지름은 각각의 a값에 대해 계산되므로, 두 반지름의 합을 구합니다.
주의할 점:
여러 개의 조건을 종합하여 하나의 미지수(a)에 대한 방정식으로 귀결시키는 과정이 핵심입니다. 점과 직선 사이의 거리 공식에서 절댓값을 푸는 과정에 유의해야 합니다.
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세 직선 교점으로 내심 구하기