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[문제 412] 핵심 개념 및 풀이 전략
원과 직선이 접할 때의 기하학적 성질을 묻는 진위 판별 문제입니다.
접근법:
1. (f(-5)f(5) 값) 점 A(-5, f(-5))와 B(5, f(5))는 직선 위의 점입니다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같습니다. 이 성질을 활용하여 보조선을 그어 직각삼각형을 만들고 피타고라스 정리를 적용하면, f(-5)f(5)의 값을 구할 수 있습니다.
2. 이 풀이는 매우 복잡하므로, 다른 해석이 필요합니다. 접선 위의 점(x,y)에서 원점까지의 거리를 d, 접점까지의 거리를 t라 하면 d²=t²-r² 같은 관계가 성립합니다. 이 문제의 핵심은 ‘원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다’ 입니다. (해설의 접근법이 더 효율적입니다.)
주의할 점:
해설에서는 접선의 방정식을 y=ax+b로 설정하고, 원점과의 거리가 반지름과 같다는 조건(|b|/√(a²+1) = 5)을 이용해 b²-25a²=25라는 관계를 유도합니다. f(-5)f(5)는 (b-5a)(b+5a) = b²-25a² 이므로 답이 25가 됩니다.
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접선의 방정식을 이용한 값 추론