101 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리: 피타고라스 정리로 구하기! 📏
안녕하세요, 좌표의 세계를 정복하는 친구들! 👋 지난 시간에는 수직선 위의 두 점 사이의 거리를 절댓값을 이용해 간단히 구하는 방법을 배웠어요. 오늘은 한 차원 더 나아가, 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 어떻게 구하는지 알아볼 거예요. 가로(x축)와 세로(y축) 두 방향으로 위치가 정해지는 평면 위에서는 어떻게 거리를 잴 수 있을까요? 그 비밀은 바로 우리가 잘 아는 피타고라스 정리에 숨어있답니다! 함께 그 원리를 파헤치고 거리 공식의 달인이 되어봅시다! 🗺️
📝 핵심만정리: 좌표평면 위 두 점 사이 거리 공식!
- 좌표평면 위의 두 점 A(x1, y1), B(x2, y2) 사이의 거리는 다음과 같이 구해요:
선분 AB의 길이 = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2)
(x좌표 차이의 제곱과 y좌표 차이의 제곱을 더한 후 제곱근을 씌워요!) - 좌표평면 위의 원점 O(0, 0)과 점 A(x1, y1) 사이의 거리는 다음과 같아요:
선분 OA의 길이 = √((x1 – 0)2 + (y1 – 0)2) = √(x12 + y12)
주의! (x2-x1)2은 (x1-x2)2과 같고, (y2-y1)2은 (y1-y2)2과 같으므로, 좌표를 빼는 순서는 결과에 영향을 주지 않아요!
🤔 좌표평면 위의 거리, 어떻게 생각할까요?
개념정리 101-1: 직각삼각형의 빗변!
좌표평면 위에 두 점 A(x1, y1)과 B(x2, y2)가 있다고 상상해 보세요. 이 두 점을 가장 짧게 연결하는 선분의 길이가 바로 두 점 사이의 거리입니다.
이 거리를 구하기 위해, 우리는 두 점 A, B를 꼭짓점으로 하고 각 변이 x축 또는 y축에 평행한 직각삼각형을 만들 수 있어요.
위 그림처럼 점 C의 좌표를 (x2, y1) (또는 (x1, y2))로 잡으면, 삼각형 ABC는 직각삼각형이 됩니다.
- 밑변의 길이 (AC): 두 점 A와 C는 y좌표가 같으므로, x좌표의 차이로 거리를 구할 수 있어요. 즉, |x2 – x1| 입니다.
- 높이의 길이 (BC): 두 점 B와 C는 x좌표가 같으므로, y좌표의 차이로 거리를 구할 수 있어요. 즉, |y2 – y1| 입니다.
이제 이 직각삼각형에서 우리가 구하려는 두 점 A, B 사이의 거리(AB)는 바로 빗변의 길이가 되는 것이죠!
📏 거리 공식 유도: 피타고라스 정리의 마법!
개념정리 101-2: a2 + b2 = c2
직각삼각형의 세 변의 길이 사이에는 피타고라스 정리가 성립하죠! (빗변의 길이)2 = (밑변의 길이)2 + (높이의 길이)2
앞에서 만든 직각삼각형 ABC에 피타고라스 정리를 적용하면 다음과 같아요:
AB2 = AC2 + BC2
여기에 우리가 구한 밑변과 높이의 길이를 대입하면,
AB2 = (|x2 – x1|)2 + (|y2 – y1|)2
절댓값의 제곱은 그냥 제곱과 같으므로 (|k|2 = k2),
AB2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
따라서, 선분 AB의 길이는 이 식의 양의 제곱근이 됩니다 (거리는 항상 양수이므로):
AB = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2)
이것이 바로 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 구하는 공식이랍니다!
특히, 한 점이 원점 O(0,0)이고 다른 한 점이 A(x1, y1)인 경우, 이 공식에 대입하면:
OA = √((x1 – 0)2 + (y1 – 0)2) = √(x12 + y12)
이 됩니다.
예시: 두 점 A(1, 2)와 B(3, 4) 사이의 거리를 구해봅시다. (PDF Check 문제 (1))
x1=1, y1=2, x2=3, y2=4라고 하면,
AB = √((3 – 1)2 + (4 – 2)2)
= √(22 + 22) = √(4 + 4) = √8
= 2√2
🧐 개념확인 문제: 거리 공식 적용하기!
이제 배운 공식을 이용해서 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 직접 구해봅시다!
다음 두 점 사이의 거리를 구하시오. (PDF Check 문제 활용)
- C(2, 8)과 D(7, -4)
- 원점 O(0,0)과 점 P(4, -3)
정답 및 해설:
-
두 점 C(2, 8)과 D(7, -4) 사이의 거리 CD:
CD = √((7 – 2)2 + (-4 – 8)2)
= √(52 + (-12)2) = √(25 + 144) = √169
= 13
-
원점 O(0,0)과 점 P(4, -3) 사이의 거리 OP:
OP = √((4 – 0)2 + (-3 – 0)2) = √(42 + (-3)2)
= √(16 + 9) = √25
= 5
공식에 좌표를 정확히 대입하고 계산만 꼼꼼히 하면 어떤 두 점 사이의 거리도 구할 수 있어요! 😉
오늘은 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리를 피타고라스 정리를 이용하여 구하는 공식 √((x2-x1)2+(y2-y1)2)에 대해 배웠습니다. 이 거리 공식은 앞으로 배우게 될 직선의 방정식, 원의 방정식 등 다양한 도형의 방정식을 다루는 데 가장 기본이 되는 중요한 도구이니 꼭 기억해주세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 삼각형의 외심, 내심, 무게중심에 대한 특강 내용을 살펴보겠습니다. 🌟