095 이차부등식 작성하기: 해가 주어지면 부등식이 보인다! ✍️
안녕하세요, 수학의 설계도를 그리는 친구들! 👋 이전 시간에는 이차부등식의 해를 구하는 다양한 방법들을 배웠어요. 오늘은 그 반대로, 이차부등식의 해가 먼저 주어졌을 때 그 해를 만족시키는 이차부등식을 만들어내는 방법에 대해 알아볼 거예요. 마치 답을 알고 문제를 만드는 것과 비슷하죠? 이 방법은 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하여 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 세웠던 원리와 매우 유사하답니다! 함께 그 설계 방법을 익혀볼까요? 🏗️
📝 핵심만정리: 해를 알면 이차부등식도 뚝딱!
해가 주어졌을 때, x2의 계수가 1인 이차부등식은 다음과 같이 세울 수 있어요. (단, α < β)
- 1. 해가 x < α 또는 x > β (양쪽 가장자리) 일 때:
→ (x – α)(x – β) > 0
→ 전개하면: x2 – (α + β)x + αβ > 0 - 2. 해가 α < x < β (두 근 사이) 일 때:
→ (x – α)(x – β) < 0
→ 전개하면: x2 – (α + β)x + αβ < 0
만약 x2의 계수가 a (a \neq 0)라면, 위에서 구한 부등식의 양변에 a를 곱해주면 돼요. 이때, a < 0 (음수)이면 부등호의 방향이 반대로 바뀐다는 점에 반드시 주의해야 합니다!
🤔 이차부등식 작성 원리: 이차함수 그래프를 떠올려봐!
개념정리 95-1: 해의 형태와 그래프 모양의 관계
이차부등식의 해가 주어졌을 때 이차부등식을 만드는 원리는, 이차함수 y = ax2+bx+c (a>0으로 가정)의 그래프와 x축의 관계를 거꾸로 생각하는 것과 같아요.
만약 이차방정식 ax2+bx+c=0의 두 근이 α, β (α < β)라면, 이차식 ax2+bx+c는 a(x-\alpha)(x-\beta)로 인수분해되죠.
- 해가 x < α 또는 x > β (양쪽 가장자리)라는 것은, 아래로 볼록한 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 부분을 의미해요. 따라서 a(x-\alpha)(x-\beta) > 0이 됩니다. (a>0이므로 (x-\alpha)(x-\beta) > 0)
- 해가 α < x < β (두 근 사이)라는 것은, 아래로 볼록한 그래프가 x축보다 아래쪽에 있는 부분을 의미해요. 따라서 a(x-\alpha)(x-\beta) < 0이 됩니다. (a>0이므로 (x-\alpha)(x-\beta) < 0)
이 원리를 이용하면, 해의 형태(<, > 또는 사이 값)와 두 경계값 α, β를 알면 이차부등식을 쉽게 만들 수 있습니다.
🛠️ 해의 형태별 이차부등식 작성법
개념정리 95-2: x2의 계수가 1일 때부터!
우선 x2의 계수가 1인 경우를 기준으로 이차부등식을 만드는 방법을 알아볼게요.
1. 해가 x < α 또는 x > β (α < β) 꼴일 때
이것은 (x-\alpha)(x-\beta)의 값이 0보다 크다는 의미이므로, 이차부등식은 다음과 같아요.
(x – α)(x – β) > 0
전개하면: x2 – (α + β)x + αβ > 0
예) 해가 x < 1 또는 x > 3이고 x2의 계수가 1인 이차부등식은?
(x-1)(x-3) > 0 ⇒ x2 – 4x + 3 > 0
2. 해가 α < x < β (α < β) 꼴일 때
이것은 (x-\alpha)(x-\beta)의 값이 0보다 작다는 의미이므로, 이차부등식은 다음과 같아요.
(x – α)(x – β) < 0
전개하면: x2 – (α + β)x + αβ < 0
예) 해가 -2 < x < 1이고 x2의 계수가 1인 이차부등식은? (PDF 문제 (1))
(x – (-2))(x – 1) < 0 ⇒ (x+2)(x-1) < 0
전개하면: x2 + x – 2 < 0
x2의 계수가 a (a \ne 1)일 경우
위에서 x2의 계수가 1인 경우로 이차부등식을 만든 후, 양변에 a를 곱해주면 됩니다.
이때, a < 0 (음수)이면 부등호의 방향이 반대로 바뀐다는 점을 반드시 주의해야 해요!
예) 해가 x < -1⁄2 또는 x > 1⁄3이고 x2의 계수가 6인 이차부등식은? (PDF 문제 (2))
1. x2의 계수가 1인 경우: (x – (-1⁄2))(x – 1⁄3) > 0
(x + 1⁄2)(x – 1⁄3) > 0
전개하면: x2 + (1⁄2 – 1⁄3)x + (1⁄2 \times –1⁄3) > 0
x2 + 1⁄6x – 1⁄6 > 0
2. 양변에 x2의 계수인 6을 곱해요 (6은 양수이므로 부등호 방향 그대로):
6(x2 + 1⁄6x – 1⁄6) > 6 \times 0
6x2 + x – 1 > 0
🧐 개념확인 (위 예제들로 확인)
위에서 다룬 예시들이 주어진 해를 만족하는 이차부등식을 만드는 과정을 잘 보여주고 있어요. 해의 형태(<, > 또는 사이 값)를 보고 부등호 방향을 결정하고, 두 경계값을 이용하여 (x-\alpha)(x-\beta) 형태를 만든 후, 필요하면 x2의 계수를 맞춰주면 된답니다! x2의 계수가 음수일 때는 부등호 방향이 바뀌는 것을 잊지 마세요!
오늘은 이차부등식의 해가 주어졌을 때, 그 해를 만족하는 이차부등식을 거꾸로 만들어내는 방법에 대해 배웠습니다. 이차방정식의 두 근 α, β를 알면 x2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0을 만들었던 것처럼, 부등식의 해의 경계값 α, β와 해의 형태를 이용하여 (x-\alpha)(x-\beta) > 0 또는 (x-\alpha)(x-\beta) < 0 과 같이 이차부등식을 만들 수 있었죠? 이 원리를 잘 이해하고 활용하면 다양한 문제에 응용할 수 있을 거예요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 모든 실수에 대해 항상 성립하는 이차부등식의 조건에 대해 알아보겠습니다. 🌟