080 정수 조건의 부정방정식 풀이: (일차식)×(일차식)=(정수) 꼴 변형! 🎯
안녕하세요, 수학의 숨은 해를 찾는 탐험가 친구들! 👋 지난 시간에는 해가 무수히 많은 ‘부정방정식’에 대해 배웠고, 여기에 특별한 조건이 주어지면 해의 범위가 좁혀질 수 있다는 것을 알았어요. 오늘은 그중에서도 미지수 x, y가 정수 (또는 자연수)라는 조건이 주어진 부정방정식을 푸는 아주 유용한 기술을 배울 거예요. 이 방법은 주어진 방정식을 (일차식) × (일차식) = (정수) 꼴로 변형한 후, 정수의 약수와 배수의 성질을 이용하여 해를 찾아내는 것이랍니다! 마치 암호를 풀듯 정수 해들을 하나씩 찾아가는 재미가 있을 거예요! 🧩
📝 핵심만정리: 정수 조건 부정방정식, 이렇게 풀어요!
미지수 x, y가 정수 (또는 자연수)라는 조건이 주어진 부정방정식은 다음과 같은 방법으로 푸는 경우가 많아요.
- 1단계: 식 변형하기
주어진 방정식을 f(x,y) \cdot g(x,y) = (정수) 꼴로 변형해요. (여기서 f(x,y)와 g(x,y)는 보통 x, y에 대한 일차식 형태가 됩니다.)
특히 xy + ax + by + c = 0 꼴은 (x+b)(y+a) = ab – c 와 같이 변형할 수 있어요. - 2단계: 약수와 배수의 성질 이용하기
x, y가 정수이면 f(x,y)와 g(x,y)도 정수가 되므로, 이 두 식의 값은 우변에 있는 정수의 약수가 되어야 해요. - 3단계: 가능한 모든 쌍 찾고 해 구하기
우변 정수의 모든 약수 쌍을 찾아서, f(x,y)와 g(x,y)가 각각 그 약수 값을 갖도록 하는 연립방정식을 세우고 풀어 x, y 값을 구해요.
자연수 조건이 있다면, 구한 해 중에서 자연수인 것만 선택하면 됩니다!
🤔 정수 조건이 왜 중요할까요?
개념정리 80-1: 무한한 해를 유한하게!
부정방정식은 미지수의 개수보다 방정식의 개수가 적어서 해가 무수히 많다고 했죠? 예를 들어 xy = 2라는 식을 생각해 보면, x가 1이면 y=2, x가 4면 y=1/2, x가 √2면 y=√2 등 해가 정말 많아요.
하지만 여기에 “x, y는 정수이다”라는 조건이 추가되면 어떻게 될까요? 곱해서 2가 되는 정수 쌍은 (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1) 이렇게 4쌍으로 해의 개수가 유한하게 줄어들어요! 만약 “x, y는 자연수이다”라는 조건이라면 (1, 2), (2, 1) 두 쌍만 가능하겠죠?
이처럼 미지수에 정수 또는 자연수 조건이 주어지면, 우리는 그 제한된 범위 안에서 해를 찾을 수 있게 됩니다. 이때 주로 사용되는 방법이 바로 식을 (일차식) × (일차식) = (정수) 꼴로 만들어 약수의 성질을 이용하는 것이에요.
🛠️ 정수 조건 부정방정식 풀이 전략: 곱의 형태로 변형하라!
개념정리 80-2: (일차식) \times (일차식) = (정수) 꼴 만들기
미지수 x, y가 정수라는 조건이 있는 부정방정식 중에서 xy + ax + by + c = 0 (a,b,c는 정수)과 같은 형태는 다음과 같이 (일차식) × (일차식) = (정수) 꼴로 억지로(?) 인수분해하듯 변형할 수 있어요.
xy + ax + by + c = 0
x(y+a) + by + c = 0
여기서 y+a를 공통인수로 만들고 싶다면, b(y+a) 형태가 필요하겠죠? 그러기 위해 ab를 더하고 빼줍니다.
x(y+a) + b(y+a) – ab + c = 0
(x+b)(y+a) = ab – c
이렇게 변형하면, x, y가 정수이므로 x+b와 y+a도 정수가 됩니다. 따라서 이 두 정수의 곱이 ab-c (정수)가 되는 모든 약수 쌍을 찾아서 x, y 값을 구할 수 있어요.
예시: 방정식 xy – x – y = 1을 만족시키는 정수 x, y의 순서쌍 (x,y)를 모두 구하시오. (PDF 문제)
1. (일차식) \times (일차식) = (정수) 꼴로 변형하기:
xy – x – y = 1
양변에 1을 더해서 좌변을 인수분해하기 좋게 만들어요. (또는 xy-x-y+1 = 1+1로 생각)
xy – x – y + 1 = 2
x(y-1) – 1(y-1) = 2 (앞 두 항에서 x로, 뒤 두 항에서 -1로 묶음. 상수항 1은 원래 없었으므로 양변에 더해준 것)
(x-1)(y-1) = 2
2. 약수 쌍 찾기:
x, y가 정수이므로 x-1과 y-1도 정수예요. 곱해서 2가 되는 정수 쌍은 다음과 같아요:
| x-1 | y-1 |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 1 |
| -1 | -2 |
| -2 | -1 |
3. 각 경우에 대해 x, y 값 구하기:
- x-1=1, y-1=2 ⇒ x=2, y=3 ⇒ (2, 3)
- x-1=2, y-1=1 ⇒ x=3, y=2 ⇒ (3, 2)
- x-1=-1, y-1=-2 ⇒ x=0, y=-1 ⇒ (0, -1)
- x-1=-2, y-1=-1 ⇒ x=-1, y=0 ⇒ (-1, 0)
따라서 구하는 정수 x, y의 순서쌍은 (-1, 0), (0, -1), (2, 3), (3, 2) 입니다.
🧐 개념확인 문제: 정수 해 찾아보기!
이제 배운 전략을 사용하여 정수 조건이 있는 부정방정식의 해를 직접 찾아봅시다!
방정식 xy + 2x + 2y + 2 = 0을 만족시키는 정수 x, y의 순서쌍 (x,y)를 모두 구하시오. (예시 변형)
정답 및 해설:
1. 주어진 식을 (일차식) \times (일차식) = (정수) 꼴로 변형합니다.
xy + 2x + 2y + 2 = 0
x(y+2) + 2y + 2 = 0
x(y+2) + 2(y+2) – 4 + 2 = 0 ( 2(y+2)를 만들기 위해 4를 더하고 뺌)
(x+2)(y+2) – 2 = 0
(x+2)(y+2) = 2
2. 약수 쌍 찾기: x, y가 정수이므로 x+2와 y+2도 정수입니다. 곱해서 2가 되는 정수 쌍은 (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1) 입니다.
3. 각 경우에 대해 x, y 값 구하기:
- x+2=1, y+2=2 ⇒ x=-1, y=0 ⇒ (-1, 0)
- x+2=2, y+2=1 ⇒ x=0, y=-1 ⇒ (0, -1)
- x+2=-1, y+2=-2 ⇒ x=-3, y=-4 ⇒ (-3, -4)
- x+2=-2, y+2=-1 ⇒ x=-4, y=-3 ⇒ (-4, -3)
따라서 구하는 정수 x, y의 순서쌍은 (-1, 0), (0, -1), (-3, -4), (-4, -3) 입니다.
정수 조건의 부정방정식은 이렇게 곱의 형태로 바꾸어 약수를 이용하는 것이 가장 기본적인 풀이법이랍니다! 👍
오늘은 미지수가 정수라는 조건이 주어진 부정방정식을 (일차식) \times (일차식) = (정수) 꼴로 변형하여 약수와 배수의 성질을 이용해 푸는 방법에 대해 배웠습니다. 이 방법은 미지수가 정수 또는 자연수로 제한될 때 매우 유용하게 사용되죠. 식을 적절히 변형하여 곱의 형태로 만드는 연습이 중요하답니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 미지수가 ‘실수’라는 조건이 주어진 부정방정식의 풀이법에 대해 알아보겠습니다. 🧐