073 미지수가 3개인 연립일차방정식 풀이: 한 문자씩 소거하여 정복! 🧩
안녕하세요, 연립방정식 마스터를 꿈꾸는 친구들! 👋 지난 시간에는 미지수가 2개인 연립일차방정식을 가감법과 대입법으로 푸는 방법을 배웠어요. 오늘은 한 단계 더 나아가, 미지수가 x, y, z처럼 3개인 연립일차방정식을 푸는 방법에 대해 알아볼 거예요. 미지수가 하나 더 늘어났지만, 기본적인 해결 전략은 미지수가 2개일 때와 같아요! 바로 한 문자씩 차근차근 소거해서 우리가 풀 수 있는 형태로 만들어가는 것이랍니다. 함께 그 방법을 자세히 살펴볼까요? 🧐
📝 핵심만정리: 미지수 3개 연립일차방정식 풀이법!
미지수가 3개인 연립일차방정식은 미지수가 x, y, z 세 개이고, 각 방정식이 모두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 말해요.
푸는 방법은 다음과 같은 단계를 따릅니다:
- 1단계: 한 미지수 소거하여 미지수 2개 만들기
주어진 3개의 일차방정식 중에서 2개씩 두 쌍을 선택하여, 각 쌍에서 같은 미지수 하나를 소거해요. 그러면 미지수가 2개인 연립일차방정식이 만들어집니다. - 2단계: 미지수 2개 연립일차방정식 풀기
1단계에서 얻은 미지수가 2개인 연립일차방정식을 가감법 또는 대입법을 이용하여 풀어서 두 미지수의 값을 구해요. - 3단계: 나머지 미지수 값 구하기
2단계에서 구한 두 미지수의 값을 원래의 세 일차방정식 중 가장 간단한 식에 대입하여 나머지 한 미지수의 값을 구해요.
핵심은 단계적으로 미지수의 개수를 줄여나가는 것이랍니다!
🤔 미지수가 3개인 연립일차방정식이란?
개념정리 73-1: 세 개의 미지수, 세 개의 식!
미지수가 2개인 연립일차방정식은 보통 두 개의 일차방정식으로 이루어져 있었죠? 마찬가지로, 미지수가 3개인 연립일차방정식은 일반적으로 세 개의 미지수(예: x, y, z)를 포함하는 세 개의 일차방정식이 한 쌍으로 묶여 있는 형태를 말해요.
예를 들어, 다음과 같은 형태가 미지수가 3개인 연립일차방정식입니다:
{ x + 2y + 3z = -2 ···①2x + y + z = 1 ···②x – y + 2z = -1 ···③
이 연립방정식의 해는 세 방정식 ①, ②, ③을 동시에 만족시키는 x, y, z의 값의 조합을 의미합니다. 그리고 이 해를 구하는 과정을 “연립방정식을 푼다”고 말하죠.
🛠️ 풀이 단계: 한 문자씩 차근차근 소거하기!
개념정리 73-2: 미지수 줄여나가기 전략!
미지수가 3개인 연립일차방정식을 푸는 기본 전략은 한 번에 하나의 미지수를 소거하여 점차 미지수의 개수를 줄여나가는 것이에요.
[풀이 단계 상세]
- 1단계: 소거할 첫 번째 미지수 정하기
세 미지수 x, y, z 중에서 어떤 것을 먼저 소거할지 정해요. 계수가 간단하거나 부호가 반대인 항이 많은 문자를 선택하면 계산이 편리할 수 있어요. - 2단계: 두 쌍의 방정식을 연립하여 첫 번째 미지수 소거
주어진 세 개의 방정식 (①, ②, ③) 중에서 두 개씩 짝을 지어 두 쌍의 연립방정식을 만들어요. (예: ①과 ②, ②와 ③ 또는 ①과 ③)
각 쌍에서 1단계에서 정한 같은 미지수를 가감법이나 대입법을 이용하여 소거해요.
그러면 나머지 두 미지수로 이루어진 새로운 일차방정식 두 개를 얻을 수 있어요. (예: Ay + Bz = C, Dy + Ez = F 꼴) - 3단계: 미지수 2개인 연립일차방정식 풀기
2단계에서 얻은 두 개의 새로운 일차방정식을 연립하여 풀어요. (이것은 우리가 이미 배운 미지수가 2개인 연립일차방정식 풀이법과 같아요!)
이 과정을 통해 두 미지수의 값을 구할 수 있습니다. - 4단계: 나머지 한 미지수의 값 구하기
3단계에서 구한 두 미지수의 값을 원래의 세 방정식 ①, ②, ③ 중 가장 간단해 보이는 식에 대입하여 마지막 남은 미지수의 값을 구해요.
예시: 연립방정식 { x + 2y + 3z = -2 ···①2x + y + z = 1 ···②x – y + 2z = -1 ···③ 을 풀어봅시다.
1단계 & 2단계: x를 소거하여 미지수 2개 만들기 (다른 문자를 먼저 소거해도 괜찮아요!)
- ② – (① × 2) : (2x+y+z) – 2(x+2y+3z) = 1 – 2(-2)
2x+y+z – (2x+4y+6z) = 1 + 4
-3y – 5z = 5 ···④ - ② – (③ × 2) : (2x+y+z) – 2(x-y+2z) = 1 – 2(-1)
2x+y+z – (2x-2y+4z) = 1 + 2
3y – 3z = 3 ⇒ y – z = 1 ···⑤ (양변을 3으로 나눔)
3단계: 미지수 2개 연립일차방정식 풀기 (④, ⑤ 연립)
{ -3y – 5z = 5 ···④y – z = 1 ···⑤
⑤에서 y = z + 1. 이것을 ④에 대입하면:
-3(z+1) – 5z = 5
-3z – 3 – 5z = 5 ⇒ -8z = 8 ⇒ z = -1.
z = -1을 y = z+1에 대입하면 y = -1+1 = 0.
4단계: 나머지 한 미지수(x) 값 구하기
y=0, z=-1을 가장 간단해 보이는 ①식에 대입하면:
x + 2(0) + 3(-1) = -2
x + 0 – 3 = -2 ⇒ x = 1.
따라서 해는 x = 1, y = 0, z = -1 입니다.
🧐 개념확인 문제: 직접 풀어보기!
PDF 자료에는 이 주제에 대한 별도의 “Check” 문제가 없지만, 위에서 풀어본 예시가 미지수 3개인 연립일차방정식을 푸는 대표적인 과정을 잘 보여주고 있어요. 핵심은 어떤 문자를 먼저 소거할지 정하고, 실수 없이 차근차근 미지수의 개수를 줄여나가는 것이랍니다!
풀이 팁! 💡
어떤 문자를 먼저 소거할지는 문제의 형태를 보고 결정하는 것이 좋아요. 계수가 간단하거나, 더하거나 뺐을 때 쉽게 소거될 수 있는 문자를 선택하면 계산 과정을 줄일 수 있습니다. 또한, 계산 과정에서 분수가 나오지 않도록 적절히 식을 변형하는 것도 좋은 방법이에요.
오늘은 미지수가 3개인 연립일차방정식을 푸는 방법에 대해 배웠습니다. 핵심 전략은 한 문자씩 차례대로 소거하여 미지수가 2개인 연립방정식, 그리고 미지수가 1개인 일차방정식으로 단계를 낮추어 푸는 것이었죠? 조금 복잡해 보일 수 있지만, 침착하게 단계를 밟아가면 어떤 문제든 해결할 수 있을 거예요. 연립방정식은 다양한 수학 문제 해결의 기본이 되니, 충분히 연습해서 익숙해지시길 바랍니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 특수한 꼴의 연립방정식 풀이에 대해 알아보겠습니다. 🚀