고차방정식 f(x)=0의 좌변 f(x)를 인수분해하기 어려울 때 사용하는 주요 방법은 다음과 같아요.

1. 인수정리 이용:
   • f(α) = 0이 되는 α 값을 찾아요. (이때 (x-\alpha)가 인수!)
   • 조립제법을 사용하여 f(x) = (x-\alpha)Q(x) 꼴로 인수분해해요.
   • 몫 Q(x)에 대해 다시 인수분해를 시도하거나 방정식을 풀어요.
2. 치환 이용:
   • 방정식에 공통부분이 반복해서 나타나면, 그 공통부분을 다른 한 문자 (예: X)로 치환해요.
   • 치환한 문자에 대한 방정식을 풀어요. (보통 원래 방정식보다 차수가 낮아져 풀기 쉬워져요. )
   • 구한 치환 문자의 값을 다시 원래의 식으로 되돌려 x의 값을 구해요.

이 두 가지 방법은 고차방정식 풀이의 매우 중요한 전략이므로 꼭 익혀두어야 해요!

개념정리 65-1: f(α)=0을 찾아라!

3차 이상의 고차방정식 f(x)=0에서 인수분해 공식을 바로 적용하기 어렵다면, 인수정리가 첫 번째 해결책이 될 수 있어요.

[인수정리 활용 단계]

1. f(α)=0이 되는 α 값 찾기:
   다항식 f(x)의 계수가 모두 정수일 때, f(α)=0을 만족하는 α는 보통 ± (상수항의 양의 약수) / (최고차항의 계수의 양의 약수) 중에서 찾을 수 있어요.
   특히 최고차항의 계수가 1이라면, 상수항의 약수들(± 포함) 중에서 α를 찾아보면 편리해요.
2. 일차인수 (x-\alpha) 확인:
   f(α)=0을 만족하는 α를 찾았다면, 인수정리에 의해 (x-\alpha)는 f(x)의 인수가 됩니다. 즉, f(x)=(x-\alpha)Q(x) 꼴로 인수분해될 수 있다는 뜻이죠.
3. 조립제법으로 몫 Q(x) 구하기:
   조립제법을 사용하여 f(x)를 (x-\alpha)로 나누면 몫 Q(x)를 쉽게 구할 수 있어요. (나머지는 당연히 0이 나와야겠죠?)
4. 방정식 풀이:
   이제 방정식은 (x-\alpha)Q(x)=0 꼴이 되었으므로, x-\alpha=0 또는 Q(x)=0을 풀면 됩니다.
   만약 Q(x)가 이차식이라면 이차방정식 풀이법(인수분해 또는 근의 공식)을 사용하고, Q(x)가 여전히 고차식이라면 다시 인수정리와 조립제법을 반복 적용해요.

개념정리 65-2: 복잡한 부분을 한 문자로!

고차방정식에 공통으로 반복되는 부분이 있다면, 그 부분을 다른 한 문자(예: X)로 치환하여 방정식을 더 간단한 형태로 만들 수 있어요. 이렇게 치환하면 보통 원래 방정식보다 차수가 낮아져서 풀기가 훨씬 쉬워진답니다.

[치환 이용 풀이 단계]

1. 방정식에서 공통으로 반복되는 부분을 찾아 한 문자 (예: X)로 치환해요.
2. 치환한 문자에 대한 새로운 방정식을 만들고, 그 방정식을 풀어서 X의 값을 구해요.
3. 구한 X의 값을 다시 원래의 식으로 되돌려놓고, 원래의 미지수 x에 대한 방정식을 풀어요.

치환을 이용하면 복잡한 고차방정식도 우리가 풀 수 있는 더 낮은 차수의 방정식(주로 이차방정식)으로 바꾸어 해결할 수 있어요!