x에 대한 방정식 ax = b의 해는 계수 a와 상수 b의 값에 따라 다음과 같이 결정돼요.

• 1. a ≠ 0 일 때 (가장 일반적인 경우):
  → 오직 하나의 해 x = ^b⁄_a 를 가져요.
• 2. a = 0 일 때:
  • b = 0 이면 (0 \cdot x = 0 꼴): 해가 무수히 많아요. (부정)
  • b ≠ 0 이면 (0 \cdot x = (0이 아닌 수) 꼴): 해가 없어요. (불능)

방정식을 풀 때는 항상 x의 계수가 0인지 아닌지 확인하는 습관이 중요해요!

개념정리 41-1: 풀이의 첫걸음

x에 대한 방정식을 풀 때, 우리의 첫 번째 목표는 식을 ax = b 형태로 간단하게 만드는 것이에요. 여기서 a는 x의 계수이고, b는 상수항을 의미하죠.

일반적으로 복잡한 형태의 방정식이 주어지면 다음과 같은 과정을 거쳐 ax=b 꼴로 정리해요.

1. 괄호가 있으면 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀어요.
2. 분수가 있거나 소수가 있으면 양변에 적절한 수를 곱하여 계수를 정수로 만들어요.
3. x를 포함한 항은 모두 좌변으로, 상수항은 모두 우변으로 이항해요.
4. 좌변과 우변을 각각 동류항끼리 계산하여 간단히 정리해요.

이렇게 정리하고 나면, x의 계수인 a의 값에 따라 해가 어떻게 되는지 판단할 수 있게 된답니다.

개념정리 41-2: 오직 하나의 해를 가질 조건

방정식 ax = b에서 x의 계수 a가 0이 아닐 때는 가장 일반적인 경우예요. 이때는 양변을 a로 나누어 해를 구할 수 있어요.

ax = b   ⇒   x = ^b⁄_a

이 경우 방정식은 오직 하나의 해 x = ^b⁄_a를 갖게 됩니다. 우리가 보통 “일차방정식을 푼다”고 할 때가 바로 이 경우에 해당해요. (단, 엄밀히 말하면 a \ne 0일 때가 일차방정식이에요. )

개념정리 41-3: 해가 무수히 많거나 없는 특별한 경우

방정식 ax = b에서 x의 계수 a가 0일 때는 특별한 상황이 발생해요. 이때는 0 \cdot x = b 꼴이 되는데, b의 값에 따라 두 가지로 나뉘어요.

1. a = 0 이고 b = 0 일 때 (0 \cdot x = 0 꼴)

이 등식은 x에 어떤 수를 대입하더라도 0 \times (어떤 수) = 0이 되어 항상 성립해요.

따라서 이때 방정식의 해는 무수히 많다고 하고, 이러한 상태를 부정(不定)이라고 불러요. ‘부정’이란 ‘해가 너무 많아서 하나로 정할 수 없다’는 뜻이랍니다.

2. a = 0 이고 b ≠ 0 일 때 (0 \cdot x = (0이 아닌 수) 꼴)

이 등식은 x에 어떤 수를 대입하더라도 좌변은 항상 0인데, 우변은 0이 아닌 수가 되므로 절대로 성립할 수 없어요.

따라서 이때 방정식의 해는 없다고 하고, 이러한 상태를 불능(不能)이라고 불러요. ‘불능’이란 ‘해가 존재하지 않아 구할 수 없다’는 뜻이랍니다.