040 방정식과 일차방정식: 미지수의 값에 따라 참이 되는 등식! 🔑
안녕하세요, 수학의 비밀을 푸는 탐정 친구들! 👋 우리는 이미 등식에는 두 종류, 즉 항상 성립하는 ‘항등식’과 특별한 경우에만 성립하는 ‘방정식’이 있다는 것을 배웠어요. 오늘은 그중에서도 방정식에 대해 좀 더 자세히 알아보고, 특히 가장 기본적인 형태인 일차방정식이 무엇인지 확실하게 정리해 볼 거예요. 방정식은 미지의 값을 찾아내는 중요한 도구이니, 그 뜻과 종류를 명확히 이해하는 것이 매우 중요하답니다! 함께 시작해 볼까요? 🕵️♂️
📝 핵심만정리: 방정식과 일차방정식의 모든 것!
- 방정식 (Equation):
- 등식에 포함된 미지수(문자)의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식.
- 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 해요.
- 방정식의 해를 모두 구하는 것을 “방정식을 푼다”라고 합니다.
- 일차방정식 (Linear Equation):
- 주어진 등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때, ax + b = 0 (이때, a \neq 0이고 a, b는 상수)의 꼴로 변형될 수 있는 방정식을 x에 대한 일차방정식이라고 해요.
- 즉, 미지수 x에 대한 차수가 1인 방정식을 말합니다.
항등식은 문자에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하지만, 방정식은 특정 값에 대해서만 성립한다는 점이 가장 큰 차이점이에요!
🤔 방정식이란 무엇일까요? (미지수의 값에 따라 참/거짓 결정!)
개념정리 40-1: 방정식과 해(근)의 의미
방정식이란, 등식 안에 있는 문자, 즉 미지수의 값에 따라서 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 말해요. 마치 어떤 열쇠(미지수의 값)를 넣느냐에 따라 문(등식)이 열리기도 하고(참), 열리지 않기도 하는(거짓) 것과 같아요.
그리고 이 방정식을 참이 되게 만드는 특별한 미지수의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라고 불러요. 방정식의 해를 모두 찾아내는 과정을 “방정식을 푼다”고 표현합니다.
방정식의 예:
- 3x – 2 = 7
→ 이 식은 x=3을 대입하면 3(3)-2 = 9-2 = 7이 되어 참이 됩니다. 하지만 x=1을 대입하면 3(1)-2 = 1 \neq 7이므로 거짓이 되죠. 따라서 이것은 방정식이고, 해는 x=3입니다. - x2 – x – 6 = 0
→ 이 식은 x=3을 대입하면 3^2-3-6 = 9-3-6 = 0으로 참, x=-2를 대입하면 (-2)^2-(-2)-6 = 4+2-6 = 0으로 참이 됩니다. 다른 값을 넣으면 거짓이 될 수 있어요. 따라서 이것도 방정식이고, 해는 x=3 또는 x=-2입니다.
항등식과의 차이점 복습! 🔄
미지수의 값에 관계없이 항상 참이 되는 등식은 항등식이라고 했죠? 예를 들어 x + 2x = 3x 같은 식은 x에 어떤 수를 넣어도 항상 성립해요. 방정식은 이와 다르다는 점을 꼭 기억하세요!
📏 일차방정식이란 무엇일까요? (ax + b = 0, a \neq 0 꼴)
개념정리 40-2: 미지수의 차수가 1인 방정식
일차방정식은 방정식 중에서도 가장 기본적인 형태로, 주어진 등식의 모든 항을 한쪽 변(보통 좌변)으로 이항하여 정리했을 때, (x에 대한 일차식) = 0 꼴로 나타나는 방정식을 말해요.
더 구체적으로, x에 대한 일차방정식은 ax + b = 0의 형태로 표현할 수 있어야 하며, 이때 아주 중요한 조건이 있어요! 바로 a \neq 0 이어야 한다는 것이죠. 만약 a=0이라면 x항이 사라져서 일차방정식이라고 할 수 없게 돼요. (여기서 a, b는 상수입니다.)
일차방정식의 예:
- 2x – 6 = 0 (이미 ax+b=0 꼴이고, a=2 \neq 0)
- 5x + 1 = 2x – 8
→ 정리하면 5x – 2x + 1 + 8 = 0 ⇒ 3x + 9 = 0. (a=3 \neq 0이므로 일차방정식!) - x2 + 3x = x2 – 2x + 5
→ 정리하면 x2 – x2 + 3x + 2x – 5 = 0 ⇒ 5x – 5 = 0. (최고차항인 x2이 사라지고 x에 대한 일차식만 남았으므로 일차방정식!)
일차방정식이 아닌 예:
- x2 – 4 = 0 (정리해도 x의 최고차항이 2차이므로 이차방정식)
- 2(x+1) = 2x + 2 → 정리하면 2x+2 = 2x+2 → 0 \cdot x + 0 = 0. 이것은 x에 어떤 값을 넣어도 성립하므로 항등식이에요!
어떤 문자에 대한 방정식일까요? 🤔
방정식에서 어떤 문자를 미지수로 보느냐에 따라 방정식의 종류가 달라질 수 있어요. 예를 들어 ax + b = 0이라는 식이 있을 때, “x에 대한 방정식”이라고 하면 x가 미지수이고 a, b는 상수(숫자)로 취급해요. 만약 “a에 대한 방정식”이라고 하면 a가 미지수가 되고 x, b를 상수로 본답니다.
일반적으로 특별한 언급이 없으면 알파벳 뒷부분의 문자(x, y, z 등)를 미지수로 생각하는 경우가 많아요.
🧐 개념확인 문제: 방정식, 제대로 구분할 수 있나요?
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 등식이 어떤 종류인지 구분해 봅시다!
x에 대한 일차방정식인 것만을 보기에서 있는 대로 고르시오. (PDF 문제 변형)
보기
ㄱ. 3x – 7 = 2
ㄴ. x2 + 5x = (x-1)(x+2)
ㄷ. (x-2)2 = x2 – 4x + 4
정답 및 해설:
각 보기를 정리하여 ax+b=0 (a \neq 0) 꼴인지 확인합니다.
- ㄱ. 3x – 7 = 2
→ 3x – 7 – 2 = 0 ⇒ 3x – 9 = 0.
(a=3, b=-9. a \neq 0이므로 일차방정식입니다.) - ㄴ. x2 + 5x = (x-1)(x+2)
→ 우변을 전개하면 (x-1)(x+2) = x2 + 2x – x – 2 = x2 + x – 2.
→ x2 + 5x = x2 + x – 2.
→ 모든 항을 좌변으로 이항하면 x2 – x2 + 5x – x + 2 = 0 ⇒ 4x + 2 = 0.
(a=4, b=2. a \neq 0이므로 일차방정식입니다.) - ㄷ. (x-2)2 = x2 – 4x + 4
→ 좌변을 전개하면 (x-2)2 = x2 – 4x + 4.
→ x2 – 4x + 4 = x2 – 4x + 4.
→ 모든 항을 좌변으로 이항하면 0 \cdot x + 0 = 0.
(이것은 x의 값에 관계없이 항상 성립하므로 항등식입니다. 따라서 일차방정식이 아닙니다.)
따라서 x에 대한 일차방정식은 ㄱ, ㄴ 입니다.
등식을 잘 정리해서 미지수의 최고차항이 무엇인지, 그리고 x의 계수가 0이 아닌지 확인하는 것이 중요해요! 😉
오늘은 등식의 중요한 두 갈래인 항등식과 방정식 중에서, 미지수의 값에 따라 참/거짓이 결정되는 ‘방정식’과 그중 가장 기본적인 ‘일차방정식’에 대해 알아보았습니다. 방정식을 푼다는 것은 그 등식을 참으로 만드는 미지수의 값, 즉 해(근)를 찾는 과정이라는 것을 기억해주세요. 앞으로 우리는 다양한 형태의 방정식을 만나고 그 해를 구하는 방법들을 배우게 될 거예요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 일차방정식 ax=b의 풀이에 대해 더 자세히 알아보겠습니다. 🚀