033 복소수의 덧셈과 뺄셈: 실수부분끼리, 허수부분끼리! 덧셈 뺄셈 🧮
안녕하세요, 수학의 새로운 영역을 탐험하는 친구들! 👋 복소수가 무엇인지, 그리고 실수부분과 허수부분으로 이루어져 있다는 것을 배웠죠? 이제 이 새로운 수, 복소수를 가지고 덧셈과 뺄셈을 하는 방법을 알아볼 시간이에요. 마치 우리가 다항식의 덧셈과 뺄셈을 할 때 동류항끼리 계산했던 것처럼, 복소수의 덧셈과 뺄셈도 아주 비슷한 원리로 이루어진답니다! 허수단위 i를 문자처럼 생각하고 계산하면 어렵지 않아요. 함께 시작해 볼까요? 😊
📝 핵심만정리: 복소수 덧셈과 뺄셈의 규칙!
a, b, c, d가 실수일 때, 두 복소수 a+bi와 c+di의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같이 해요.
- 덧셈: (실수부분끼리 더하고) + (허수부분끼리 더한 것)i
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i - 뺄셈: (실수부분끼리 빼고) + (허수부분끼리 뺀 것)i
(a+bi) – (c+di) = (a-c) + (b-d)i
기본적으로 허수단위 i를 문자처럼 생각하고, 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산하여 (실수부분) + (허수부분)i 꼴로 정리하면 된답니다!
또한, 복소수의 덧셈에 대해서도 수의 덧셈처럼 교환법칙과 결합법칙이 성립해요.
➕ 복소수의 덧셈: 끼리끼리 더하기!
개념정리 33-1: 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리!
두 복소수를 더할 때는 아주 간단한 규칙을 따르면 돼요. 바로 실수부분은 실수부분끼리 더하고, 허수부분은 허수부분끼리 더해서 각각 새로운 실수부분과 허수부분을 만드는 것이죠.
두 복소수 z1 = a+bi 와 z2 = c+di (여기서 a,b,c,d는 실수)가 있을 때, 이 둘의 합은 다음과 같아요.
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
마치 다항식에서 (a+bx) + (c+dx) = (a+c) + (b+d)x 와 같이 동류항끼리 계산하는 것과 매우 비슷하죠? 여기서 i를 x처럼 하나의 문자로 생각하고 계산하면 된답니다.
예시: (3 – i) + (2 + 4i) 를 계산해 봅시다.
실수부분끼리 더하면: 3 + 2 = 5
허수부분끼리 더하면: (-1) + 4 = 3
따라서, (3 – i) + (2 + 4i) = (3+2) + (-1+4)i = 5 + 3i
➖ 복소수의 뺄셈: 이것도 끼리끼리 빼기!
개념정리 33-2: 덧셈과 마찬가지 원리!
복소수의 뺄셈도 덧셈과 마찬가지로 간단해요. 실수부분은 실수부분끼리 빼고, 허수부분은 허수부분끼리 빼서 각각 새로운 실수부분과 허수부분을 만들면 돼요.
두 복소수 z1 = a+bi 와 z2 = c+di 가 있을 때, 이 둘의 차는 다음과 같아요.
(a+bi) – (c+di) = (a-c) + (b-d)i
뺄셈도 i를 문자처럼 생각하고, 괄호를 풀 때 부호에 주의하면서 동류항끼리 계산하면 됩니다.
(a+bi) – (c+di) = a+bi – c – di = (a-c) + (bi-di) = (a-c) + (b-d)i
예시: (2 – 3i) – (-1 + 5i) 를 계산해 봅시다.
괄호를 먼저 풀면 (뒤 괄호 안의 부호가 모두 바뀌는 것에 주의!):
2 – 3i + 1 – 5i
실수부분끼리 계산하면: 2 + 1 = 3
허수부분끼리 계산하면: (-3) + (-5) = -8
따라서, (2 – 3i) – (-1 + 5i) = (2 – (-1)) + (-3 – 5)i = (2+1) + (-3-5)i = 3 – 8i
🤝 복소수 덧셈의 연산 법칙
개념정리 33-3: 교환법칙과 결합법칙도 성립!
실수의 덧셈에서 교환법칙(a+b=b+a)과 결합법칙((a+b)+c = a+(b+c))이 성립했던 것처럼, 복소수의 덧셈에서도 이 두 가지 중요한 연산 법칙이 그대로 성립해요!
세 복소수 z1, z2, z3에 대하여,
- 교환법칙: z1 + z2 = z2 + z1
(더하는 순서를 바꾸어도 결과는 같아요.) - 결합법칙: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(어떤 두 복소수를 먼저 더하든 결과는 같아요. 그래서 괄호 없이 z1+z2+z3로 쓰기도 해요. )
이러한 연산 법칙이 성립하기 때문에 복소수의 덧셈도 실수처럼 자유롭게 순서를 바꾸거나 묶어서 계산할 수 있답니다.
🧐 개념확인 문제: 복소수 덧셈과 뺄셈 연습!
이제 배운 내용을 바탕으로 복소수의 덧셈과 뺄셈을 직접 계산해 봅시다!
다음 식을 계산하여 a+bi (a, b는 실수) 꼴로 나타내시오. (PDF 문제 활용)
- 2i + (4 – 3i)
- 4i – (1 – i)
정답 및 해설:
-
2i + (4 – 3i) = 0 + 2i + 4 – 3i
실수부분: 0 + 4 = 4
허수부분: 2 + (-3) = -1
= 4 – i
-
4i – (1 – i) = 0 + 4i – 1 + i
실수부분: 0 – 1 = -1
허수부분: 4 + 1 = 5
= -1 + 5i
복소수의 덧셈과 뺄셈은 실수부분과 허수부분을 나누어 계산하는 것이 핵심이에요. 마치 x가 있는 항과 상수항을 따로 계산하는 다항식처럼요! 😉
오늘은 복소수의 덧셈과 뺄셈 방법에 대해 배웠습니다. 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 계산한다는 간단한 원리만 기억하면 어렵지 않았죠? 또한, 복소수의 덧셈에서도 교환법칙과 결합법칙이 성립하여 계산을 더욱 편리하게 할 수 있다는 점도 알게 되었어요. 오늘 배운 내용을 바탕으로 복소수 연산에 자신감을 가지시길 바랍니다! 다음 시간에는 복소수의 곱셈과 나눗셈에 대해 알아보겠습니다! 곱셈과 나눗셈은 또 어떤 규칙이 있을까요? 기대해주세요! 🤓