임의의 실수 a, b에 대하여 복소수 z = a+bi는 다음과 같이 분류할 수 있어요.

• 복소수 (a+bi)
  • 실수 (Real Number): 허수부분 b = 0일 때. (예: 3, -5, 0, √2)
    이때 복소수는 a (실수)와 같아요.
  • 허수 (Imaginary Number): 허수부분 b ≠ 0일 때. (실수가 아닌 복소수)
    • 순허수 (Pure Imaginary Number): 실수부분 a = 0이고, 허수부분 b ≠ 0일 때. (예: 2i, -i, √3i)
      이때 복소수는 bi (b ≠ 0) 꼴이에요.
    • 순허수가 아닌 허수: 실수부분 a ≠ 0이고, 허수부분 b ≠ 0일 때. (예: 1+2i, -3-i)
      이때 복소수는 a+bi (a ≠ 0, b ≠ 0) 꼴이에요.

결국, 복소수는 실수이거나 허수이고, 허수는 다시 순허수와 순허수가 아닌 허수로 나뉜다는 점을 기억하세요!

개념정리 30-1: 실수부분과 허수부분이 기준!

복소수 z = a+bi (여기서 a, b는 실수)를 분류하는 기준은 바로 실수부분 a와 허수부분 b의 값이에요.

복소수 a+bi
    ├── b = 0 일 때: a (실수)
    │
    └── b ≠ 0 일 때: a+bi (허수)
            ├── a = 0 (이고 b ≠ 0) 일 때: bi (순허수)
            └── a ≠ 0 (이고 b ≠ 0) 일 때: a+bi (순허수가 아닌 허수)

개념정리 30-2: 크기를 비교할 수 없는 수

실수는 수직선 위에 나타낼 수 있어서 어떤 수가 더 크고 작은지 대소 관계를 비교할 수 있었죠? 하지만 허수는 실수와 달리 그 크기를 비교하거나 순서를 정할 수 없어요. 즉, 2i > i 라거나 -3i < 0 과 같은 표현은 의미가 없답니다.

왜냐하면, 만약 허수단위 i에 대해 대소 관계가 존재한다고 가정하면 (i>0 또는 i=0 또는 i<0), 어떤 경우든 제곱하면 i² = -1이라는 사실과 모순이 발생하기 때문이에요.

• 만약 i > 0이라면, 양변에 i를 곱하면 (부등호 방향 그대로) i² > 0 \cdot i, 즉 -1 > 0이 되어 모순이에요.
• 만약 i = 0이라면, i² = 0이 되어 -1 = 0이 되므로 모순이에요.
• 만약 i < 0이라면, 양변에 음수인 i를 곱하면 (부등호 방향 반대) i² > 0 \cdot i, 즉 -1 > 0이 되어 모순이에요.

따라서 허수는 양수도, 음수도, 0도 아니며, 허수끼리 또는 허수와 실수 사이에 대소 관계를 정의할 수 없어요.