029 허수단위와 복소수: 실수 너머 새로운 수의 세계! 🌌
안녕하세요, 수학의 새로운 지평을 여는 친구들! 👋 지금까지 우리는 자연수, 정수, 유리수, 무리수를 아우르는 ‘실수’의 세계를 탐험했어요. 실수는 수직선 위의 모든 점에 대응될 수 있는 수들이었죠. 그런데, “제곱해서 음수가 되는 수”는 없을까요? 예를 들어, x2 = -1이라는 방정식의 해는 실수 범위에서는 찾을 수 없어요. 왜냐하면 어떤 실수를 제곱해도 음수가 될 수 없기 때문이죠. 오늘은 이 한계를 뛰어넘어 수의 세계를 확장하는 새로운 개념, 바로 허수단위 i와 이를 포함하는 복소수에 대해 알아볼 거예요. 상상력을 발휘해서 새로운 수의 세계로 함께 떠나봐요! 🚀
📝 핵심만정리: 허수단위와 복소수의 기본!
- 허수단위 (Imaginary Unit) i:
- 제곱하여 -1이 되는 새로운 수를 기호 i로 나타내고, 이를 허수단위라고 해요.
- 즉, i2 = -1 이며, i = √-1 로 표현하기도 합니다.
- 복소수 (Complex Number):
- 실수 a, b에 대하여 a + bi 꼴로 나타내어지는 수를 복소수라고 해요.
- 이때 a를 복소수의 실수부분, b를 허수부분이라고 합니다. (주의! 허수부분은 bi가 아니라 b예요!)
- 예: 3 + 2i 에서 실수부분은 3, 허수부분은 2.
복소수는 우리가 알고 있던 실수의 세계를 포함하는 더 넓은 수의 체계랍니다!
💡 허수단위 i란 무엇일까요? (제곱해서 -1이 되는 수)
개념정리 29-1: 새로운 수의 탄생!
우리가 아는 모든 실수는 제곱하면 항상 0보다 크거나 같아요. (a2 ≥ 0) 그래서 x2 = -1과 같은 방정식은 실수 범위에서는 해를 가질 수 없었죠. 수학자들은 이러한 한계를 극복하고 방정식의 해를 구하기 위해 수의 범위를 확장할 필요성을 느꼈어요.
그래서! 제곱해서 -1이 되는 새로운 수를 상상하고, 이것을 기호 i로 나타내기로 약속했어요. 이 i를 바로 허수단위(imaginary unit)라고 부릅니다.
허수단위 i의 가장 중요한 성질은 다음과 같아요:
i2 = -1
그리고 이 정의로부터 i = √-1 이라고 표현하기도 합니다.
이 허수단위 i의 등장으로 x2 = -1이라는 방정식의 해는 x = i 또는 x = -i (i와 -i)가 될 수 있게 되었어요.
‘i’는 어디서 왔을까요? 🤔
허수단위를 뜻하는 ‘imaginary unit’의 첫 글자 ‘i’를 따온 것이에요. 이 기호는 스위스의 위대한 수학자 오일러(Euler)가 처음 사용했다고 알려져 있답니다.
🌐 복소수란 무엇일까요? (a + bi 꼴의 수)
개념정리 29-2: 실수와 허수를 아우르는 수, 복소수!
허수단위 i를 사용하면, 이제 우리는 수의 세계를 더욱 확장할 수 있어요. 복소수(complex number)는 실수 a와 b에 대하여 다음과 같은 꼴로 나타내어지는 모든 수를 말해요.
a + bi
이때, a를 그 복소수의 실수부분(real part)이라고 하고, b를 허수부분(imaginary part)이라고 합니다.
복소수의 예:
- 3 + 5i: 실수부분은 3, 허수부분은 5
- -2 – 7i: 실수부분은 -2, 허수부분은 -7 ( -2 + (-7)i 로 생각)
- 4i: 이것은 0 + 4i로 생각할 수 있으므로, 실수부분은 0, 허수부분은 4예요.
- 10: 이것은 10 + 0i로 생각할 수 있으므로, 실수부분은 10, 허수부분은 0이에요. 즉, 모든 실수는 허수부분이 0인 복소수라고 할 수 있답니다!
결국, 복소수는 실수와 허수(허수부분이 0이 아닌 복소수)를 모두 포함하는 더 넓은 수의 체계인 것이죠. 수학자들의 상상력이 만들어낸 수이지만, 모순 없이 잘 정의된 수의 세계랍니다.
허수부분은 b, bi가 아니에요! ⚠️
복소수 a+bi에서 허수부분을 물어보면 bi라고 답하는 실수를 하기 쉬워요. 하지만 허수부분은 허수단위 i에 곱해진 실수 b만을 의미한다는 점, 꼭 기억해주세요!
🧐 개념확인 문제: 실수부분과 허수부분 찾기!
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 복소수의 실수부분과 허수부분을 찾아봅시다!
다음 복소수의 실수부분과 허수부분을 각각 구하시오. (PDF 문제 활용)
- -3 – 5i
- 4i
- i – √2
- 10
정답 및 해설:
-
-3 – 5i = -3 + (-5)i
실수부분: -3, 허수부분: -5
-
4i = 0 + 4i
실수부분: 0, 허수부분: 4
-
i – √2 = -√2 + 1i
실수부분: -√2, 허수부분: 1
-
10 = 10 + 0i
실수부분: 10, 허수부분: 0
복소수를 a+bi 꼴로 생각하고 a와 b를 정확히 찾아내는 연습이 중요해요! 😉
오늘은 제곱해서 -1이 되는 신비한 수, 허수단위 i와 이를 포함하는 더 넓은 수의 세계인 복소수에 대해 배웠습니다. 복소수는 a+bi의 형태로 표현되며, 실수부분과 허수부분으로 구성된다는 것을 알게 되었죠? 이 복소수의 등장으로 우리는 이전에는 풀 수 없었던 방정식의 해를 구할 수 있게 되었고, 수학의 세계는 더욱 풍부해졌답니다. 오늘도 새로운 개념을 배우느라 수고 많으셨어요! 다음 시간에는 이 복소수들을 어떻게 분류하는지 더 자세히 알아보겠습니다! 기대해주세요! 💡