실수는 우리가 수직선 위에 나타낼 수 있는 모든 수를 의미하며, 크게 유리수와 무리수로 나눌 수 있어요.

• 실수 (Real Numbers)
  • 유리수 (Rational Numbers): 분수 ^a⁄_b (a, b는 정수, b≠0) 꼴로 나타낼 수 있는 수.
    • 정수 (Integers)
      • 양의 정수 (자연수): 1, 2, 3, …
      • 0
      • 음의 정수: -1, -2, -3, …
    • 정수가 아닌 유리수
      • 유한소수: 0.5, -0.71 등
      • 순환소수: 0.˙3, 2.˙4˙5 등
  • 무리수 (Irrational Numbers): 분수로 나타낼 수 없는 수 (순환하지 않는 무한소수).
    예: √2, π, sin 10°

이 분류를 잘 기억해두면 수의 성질을 이해하는 데 큰 도움이 된답니다!

개념정리 28-1: 실수의 구성원들

우리가 사용하는 ‘실수’라는 큰 수의 집합은 다음과 같이 체계적으로 분류될 수 있어요. 각 단계별로 어떤 수들이 포함되는지 살펴보세요.

실수 ┳ 유리수 ┳ 정수 ┳ 양의 정수 (자연수): 1, 2, 3, ...
     ┃        ┃      ┣ 0
     ┃        ┃      ┗ 음의 정수: -1, -2, -3, ...
     ┃        ┗ 정수가 아닌 유리수 ┳ 유한소수: 0.5, -1.75, ...
     ┃                             ┗ 순환소수: 0.666..., 1.2727..., ...
     ┗ 무리수 (순환하지 않는 무한소수): √2, √3, π, ...
                    

이처럼 실수는 유리수와 무리수로 나뉘고, 유리수는 다시 정수와 정수가 아닌 유리수로 분류돼요. 정수는 우리가 잘 아는 양의 정수(자연수), 0, 음의 정수로 이루어져 있죠. 정수가 아닌 유리수는 유한소수나 순환소수로 표현될 수 있고요. 그리고 이 모든 유리수와는 다르게 분수로 표현할 수 없는 수가 바로 무리수랍니다.

개념정리 28-2: 수직선을 채우는 방법

수직선 위에 수들을 나타내는 것을 생각해 볼까요?

• 유리수의 조밀성: 서로 다른 두 유리수 사이에는 항상 또 다른 무수히 많은 유리수가 존재해요. 아무리 가까운 두 유리수를 잡아도 그 사이에는 빈틈없이 유리수가 빽빽하게 들어차 있는 것처럼 보이죠.
• 무리수의 조밀성: 무리수도 마찬가지로, 서로 다른 두 무리수 사이에는 항상 또 다른 무수히 많은 무리수가 존재해요.

하지만 놀랍게도, 유리수만으로는 수직선을 완전히 채울 수 없어요! 유리수 사이사이에는 무리수가 존재하기 때문이죠. 예를 들어, 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이인 √2는 무리수인데, 수직선 위에서 1과 2 사이에 분명히 존재해요.

결국, 수직선은 유리수와 무리수, 즉 모든 실수를 나타내는 점들로 완전히 빈틈없이 메워질 수 있어요. 이것을 실수의 연속성이라고 부릅니다.