024 여러 개의 문자를 포함한 식의 인수분해: 차수 낮은 문자가 주인공! 🎭
안녕하세요, 수학 탐험가 친구들! 👋 지금까지 우리는 다양한 인수분해 기술들을 배웠어요. 공통인수로 묶기, 인수분해 공식 활용, 치환, 복이차식 인수분해까지! 오늘은 그 기술들을 종합적으로 활용해야 하는, 여러 종류의 문자를 포함하고 항도 많은 복잡한 다항식의 인수분해에 도전해 볼 거예요. 마치 여러 배우가 등장하는 연극에서 주인공을 정해 극을 이끌어가는 것처럼, 복잡한 식에서도 어떤 문자를 주인공으로 삼을지 결정하는 것이 문제 해결의 첫걸음이랍니다! 함께 그 전략을 알아볼까요? 🎬
📝 핵심만정리: 복잡한 다항식 인수분해 전략!
여러 개의 문자를 포함하고 항도 많은 복잡한 다항식을 인수분해할 때는 다음 전략을 따르는 것이 일반적이에요.
- 차수 비교하기: 식에 포함된 각 문자에 대한 차수를 조사해요.
- 주인공 문자 정하기:
- 만약 문자들의 차수가 다르다면, 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 식을 정리해요.
- 만약 모든 문자의 차수가 같다면, 어느 한 문자를 정해서 그 문자에 대하여 내림차순으로 식을 정리해요.
- 공통인수 찾기 및 공식 적용: 정리된 식에서 공통인수를 묶어내거나, 각 부분에 인수분해 공식을 적용해요.
- 끝까지 인수분해: 더 이상 인수분해되지 않을 때까지 반복해요.
차수가 낮은 문자를 기준으로 정리하면, 그 문자를 포함하지 않는 항들은 상수항처럼 취급되어 식의 구조가 더 단순해 보이고 공통인수나 적용할 공식을 찾기 쉬워진답니다!
🤔 왜 차수가 가장 낮은 문자로 정리할까요?
개념정리 24-1: 복잡함을 줄이는 마법!
여러 문자를 포함한 복잡한 다항식을 인수분해할 때, 차수가 가장 낮은 문자를 선택하여 그 문자에 대해 내림차순으로 정리하는 것은 매우 효과적인 전략이에요. 왜 그럴까요?
- 상수항의 등장: 주인공으로 선택된 문자(차수가 가장 낮은 문자)를 제외한 나머지 문자들은 모두 상수처럼 취급돼요. 이렇게 하면 주인공 문자에 대한 항의 개수가 줄어들거나, 상수항 부분이 더 복잡한 식으로 묶여서 전체적인 구조를 파악하기 쉬워져요.
- 공통인수 발견 용이: 식이 특정 문자에 대해 정리되면, 각 항 또는 묶음에서 공통인수를 발견하거나 인수분해 공식을 적용할 부분이 더 잘 보이게 돼요.
- 전략적 접근 가능: 만약 차수가 가장 낮은 문자가 1차라면, 그 문자에 대해 정리했을 때 A \cdot (주인공문자) + B 와 같은 형태로 나타나 공통인수를 찾기가 더 수월해질 수 있어요.
모든 문자의 차수가 같다면 어떤 문자를 선택해도 상관없지만, 보통은 알파벳 순서대로 x나 a를 기준으로 정리하는 경우가 많아요.
🛠️ 여러 문자 포함 식의 인수분해 단계별 마스터하기
개념정리 24-2: 복잡한 식 인수분해, 이렇게 따라해요!
이제 실제 예시를 통해 여러 문자를 포함한 식을 인수분해하는 과정을 살펴볼게요.
예시 1: 문자의 차수가 다를 때
다항식 x3 + x2z – xy2 – y2z를 인수분해해 봅시다.
1단계: 각 문자의 차수 확인
- x에 대한 차수: 3차
- y에 대한 차수: 2차
- z에 대한 차수: 1차 ← 가장 낮음!
2단계: 차수가 가장 낮은 문자(z)에 대해 내림차순 정리
(x2 – y2)z + (x3 – xy2)
3단계: 공통인수 찾기 및 공식 적용
두 번째 괄호 (x3 – xy2)에서 공통인수 x를 묶어내면 x(x2 – y2)가 돼요.
= (x2 – y2)z + x(x2 – y2)
이제 전체 식에서 공통인수 (x2 – y2)가 보이죠?
= (x2 – y2)(z + x)
4단계: 끝까지 인수분해
(x2 – y2)는 합차 공식으로 더 인수분해할 수 있어요: (x+y)(x-y)
따라서 최종 답은 (x+y)(x-y)(x+z) 입니다.
예시 2: 모든 문자의 차수가 같을 때 (PDF 하단 예시 변형)
다항식 a2(b-c) + b2(c-a) + c2(a-b)를 인수분해해 봅시다.
(이 식은 a,b,c 모두 2차식으로 차수가 같아요. 이런 형태를 ‘윤환의 꼴’이라고도 해요.)
1단계 & 2단계: 한 문자(예: a)에 대해 내림차순 정리
먼저 모든 괄호를 풀어서 전개해요:
a2b – a2c + b2c – ab2 + ac2 – bc2
a에 대해 내림차순으로 정리하면:
= (b-c)a2 – (b2-c2)a + (b2c-bc2)
3단계: 각 부분에서 공통인수 찾기 및 공식 적용
= (b-c)a2 – (b-c)(b+c)a + bc(b-c)
이제 전체 식에서 공통인수 (b-c)가 보이죠?
= (b-c) [a2 – (b+c)a + bc]
4단계: 괄호 안의 식 추가 인수분해
괄호 안의 [a2 – (b+c)a + bc] 부분은 a에 대한 이차식이에요. 곱해서 bc가 되고 더해서 -(b+c)가 되는 두 수는 -b와 -c이므로,
[a2 – (b+c)a + bc] = (a-b)(a-c)
따라서 최종적으로,
(b-c)(a-b)(a-c)
보통 답을 쓸 때는 문자 순서를 a-b, b-c, c-a 순으로 맞추기 위해 (a-c)를 -(c-a)로 바꾸기도 해요.
= -(a-b)(b-c)(c-a)
🧐 개념확인 문제: 복잡한 식 인수분해 도전!
이제 배운 내용을 바탕으로 여러 문자를 포함한 식을 직접 인수분해해 봅시다!
다항식 xy + x + y + 1을 인수분해하시오.
정답 및 해설:
1. 각 문자의 차수 확인:
x에 대한 차수: 1차
y에 대한 차수: 1차
모든 문자의 차수가 같으므로, 어느 한 문자에 대해 정리합니다. x에 대해 정리해 볼게요.
2. x에 대해 내림차순 정리:
xy + x + y + 1 = (y+1)x + (y+1)
3. 공통인수 찾기:
두 항 (y+1)x와 (y+1)에 공통인수 (y+1)이 보입니다.
4. 공통인수로 묶기:
= (y+1)(x+1)
(또는 (x+1)(y+1)로 써도 같아요!)
다른 방법: 두 개씩 묶기
xy + x + y + 1 = x(y+1) + 1(y+1) = (x+1)(y+1)
여러 문자를 포함한 복잡한 식의 인수분해는 어떤 문자를 주인공으로 삼아 정리하느냐에 따라 풀이 과정이 달라질 수 있어요. 차수가 가장 낮은 문자를 선택하는 것이 일반적인 좋은 전략이랍니다! ✨
오늘은 여러 개의 문자를 포함하고 항도 많은 복잡한 다항식을 인수분해하는 전략에 대해 배웠습니다. 핵심은 ‘차수가 가장 낮은 문자에 대해 내림차순으로 정리’하는 것이었죠! 이 방법을 사용하면 복잡해 보이던 식도 구조가 한눈에 들어오면서 공통인수를 찾거나 인수분해 공식을 적용하기 훨씬 수월해진답니다. 인수분해는 많은 연습을 통해 익숙해지는 것이 중요하니, 다양한 문제에 도전해 보세요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 인수정리와 조립제법을 이용한 고차식의 인수분해 방법을 알아보겠습니다! 🚀