022 공통부분이 있는 식의 인수분해: 치환으로 간단하게! 🎭
안녕하세요, 수학 변신의 마법사 친구들! 👋 지난 시간에는 다양한 인수분해 공식들을 익혔죠? 그런데 때로는 공식에 바로 딱 들어맞지 않는 복잡한 다항식을 만날 때가 있어요. 하지만 자세히 들여다보면, 식 안에 똑같은 부분이 반복되는 경우가 있답니다! 이렇게 공통부분이 있는 식은 치환이라는 마법을 사용하면 훨씬 간단한 형태로 바꾸어 인수분해할 수 있어요. 마치 복잡한 가면을 잠시 벗겨내고 본모습을 보는 것과 같죠! 오늘은 이 치환을 이용한 인수분해 방법을 함께 배워볼게요. 🪄
📝 핵심만정리: 공통부분이 보이면, 치환하라!
다항식에 공통으로 반복되는 부분이 있을 때, 이 공통부분을 다른 한 문자(예: X, A 등)로 바꾸어 놓는 것을 치환이라고 해요. 치환을 이용한 인수분해는 다음 순서로 진행돼요.
- 주어진 식에서 공통부분을 찾아서 한 문자 (예: X)로 치환해요.
- 치환한 문자에 대한 식을 인수분해해요. (이때는 우리가 배운 인수분해 공식을 적용하기 쉬운 형태가 될 거예요!)
- 인수분해가 끝나면, 치환했던 문자 X 자리에 원래의 식을 다시 대입해서 정리해요.
- (중요!) 원래 식을 대입한 후, 혹시 더 인수분해할 수 있는 부분이 있는지 반드시 확인해야 해요!
치환은 복잡한 식의 구조를 단순하게 만들어 인수분해를 쉽게 할 수 있도록 도와주는 아주 유용한 기술이랍니다!
🤔 공통부분과 치환: 왜 사용하는 걸까요?
개념정리 22-1: 복잡함을 단순함으로 바꾸는 마법, 치환!
인수분해를 해야 하는 다항식이 길고 복잡해 보일 때, 식의 일부분이 반복적으로 나타나는 경우가 있어요. 이 반복되는 부분을 공통부분이라고 해요.
예를 들어, (x+2y)2 + 2(x+2y) – 3 이라는 식을 보세요. (x+2y)라는 덩어리가 반복해서 나타나죠? 이럴 때 x+2y를 X라는 새로운 한 문자로 바꿔서 생각하는 것을 치환이라고 해요.
치환을 하면 원래 복잡했던 식이 X2 + 2X – 3처럼 훨씬 단순한 형태로 바뀌어서, 우리가 이미 알고 있는 인수분해 공식을 적용하기가 매우 쉬워져요. 차수가 낮아지거나 항의 개수가 줄어드는 효과도 있어서 계산 실수를 줄이는 데도 도움이 된답니다.
치환, 꼭 해야 할까요? 🤔
공통부분이 있더라도 그 부분이 별로 복잡하지 않다면 굳이 다른 문자로 치환하지 않고, 머릿속으로 그 공통부분을 하나의 덩어리로 생각하면서 바로 인수분해할 수도 있어요. 하지만 공통부분이 복잡하거나 실수를 줄이고 싶을 때는 치환하는 것이 훨씬 안전하고 편리한 방법이랍니다!
🛠️ 치환을 이용한 인수분해 단계별 마스터하기
개념정리 22-2: 치환 인수분해, 이렇게 따라해요!
공통부분이 있는 다항식을 치환을 이용하여 인수분해하는 구체적인 과정을 예시를 통해 알아볼게요.
예시: 다항식 (x2 – 4x)(x2 – 4x – 8) + 12 를 인수분해해 봅시다.
1단계: 공통부분을 찾아 X로 치환하기
이 식에서는 x2 – 4x 부분이 공통으로 반복되네요! 이 부분을 X로 치환해 볼게요.
Let X = x2 – 4x.
그러면 주어진 식은 X(X – 8) + 12 로 바뀝니다.
2단계: 치환한 X에 대한 식을 인수분해하기
이제 X(X – 8) + 12 를 전개하고 인수분해해요.
X(X – 8) + 12 = X2 – 8X + 12
이 이차식은 곱해서 12, 더해서 -8이 되는 두 수 -2와 -6을 찾아서 인수분해할 수 있죠?
= (X – 2)(X – 6)
3단계: X 자리에 원래의 식 대입하기
인수분해가 끝났으니, 이제 X 대신 원래의 식 x2 – 4x를 다시 대입해요.
(X – 2)(X – 6) = (x2 – 4x – 2)(x2 – 4x – 6)
4단계: 더 이상 인수분해되지 않는지 확인하기
각각의 괄호 안의 이차식 x2 – 4x – 2와 x2 – 4x – 6이 (계수가 유리수인 범위에서) 더 이상 인수분해되지 않는지 확인해야 해요. 이 경우에는 더 이상 인수분해되지 않네요.
따라서 최종 답은 (x2 – 4x – 2)(x2 – 4x – 6) 입니다.
마지막 확인은 필수! 🧐
치환했던 문자를 원래 식으로 되돌린 후에는 반드시 각 인수가 더 이상 인수분해되지 않는지 꼼꼼히 살펴보는 습관을 들여야 해요. 끝까지 인수분해해야 정답으로 인정받을 수 있답니다!
🧐 개념확인 문제: 치환으로 인수분해 도전!
이제 배운 내용을 바탕으로 공통부분을 찾아 치환하여 인수분해하는 연습을 해봅시다!
다항식 (x+1)2 – 3(x+1) – 4 를 인수분해하시오. (예시 변형)
정답 및 해설:
1. 공통부분 찾고 치환하기:
공통부분은 (x+1)입니다. X = x+1로 치환합시다.
주어진 식은 X2 – 3X – 4 가 됩니다.
2. 치환한 식 인수분해하기:
X2 – 3X – 4 에서 곱해서 -4, 더해서 -3이 되는 두 수는 -4와 1입니다.
따라서 (X – 4)(X + 1) 로 인수분해됩니다.
3. 원래의 식 대입하기:
X 자리에 x+1을 다시 대입합니다.
= ((x+1) – 4)((x+1) + 1)
= (x + 1 – 4)(x + 1 + 1)
= (x – 3)(x + 2)
4. 더 인수분해되는지 확인:
(x-3)과 (x+2)는 더 이상 인수분해되지 않습니다. 따라서 이것이 최종 답입니다.
공통부분을 찾아 치환하는 방법은 복잡한 식을 단순하게 만들어주는 아주 유용한 기술이에요. 어떤 부분이 공통인지 잘 찾아내는 눈썰미를 기르는 것이 중요하답니다! 👀
오늘은 다항식에 공통부분이 있을 때, 치환을 이용하여 인수분해하는 방법에 대해 배웠습니다. 복잡해 보이는 식도 공통부분을 찾아 다른 문자로 바꾸면 우리가 이미 알고 있는 간단한 형태로 변신했죠? 그리고 인수분해 후에는 반드시 원래의 식으로 되돌리고, 더 인수분해할 부분이 없는지 확인하는 습관이 중요해요! 이 치환 기술은 앞으로 더 어려운 인수분해 문제를 해결하는 데 큰 도움이 될 거예요. 오늘도 정말 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 또 다른 형태의 다항식 인수분해 방법을 알아보겠습니다. 기대해주세요! 🤩