IB 수학 문제 (한국어 버전)
단원: 기하학과 삼각법 (좌표기하학)
소형 드론이 옥상에 있는 직사각형 모양의 태양 전지판을 검사하도록 프로그래밍되었습니다. 드론의 위치는 좌표가 미터(m) 단위로 측정되는 2차원 데카르트 평면에서 모니터링됩니다.
드론은 A(3, 3) 지점에서 검사를 시작합니다. 다음 목표 검사 지점은 B(p+1, -2) 입니다.
A 지점과 B 지점 사이의 직선거리는 정확히 $5\sqrt{2}$ 미터로 설정되어 있습니다.
(a) $p$의 가능한 값들이 방정식 $p^2 – 4p – 21 = 0$을 만족시켜야 함을 보이시오. [3점]
(b) (a)의 결과를 이용하여, 가능한 $p$의 두 값을 구하시오. [2점]
(c) 태양 전지판은 방정식 $x = k$로 정의된 고정된 수직 경계선을 가집니다. 드론이 태양 전지판 위에 머무르려면, B 지점의 두 가능한 위치 모두 이 경계선의 왼쪽에 있어야 합니다. 이 조건이 주어졌을 때, $k$의 최소 정수값을 구하시오. [3점]
[총 8점]
채점 기준표 (Markscheme)
(a) $p$의 가능한 값들이 방정식 $p^2 – 4p – 21 = 0$을 만족시켜야 함을 보이시오.
- 거리 공식에 값을 정확하게 대입함. (M1)
- $\sqrt{((p+1)-3)^2 + (-2-3)^2} = 5\sqrt{2}$
- 또는 $( (p+1)-3 )^2 + ( -2-3 )^2 = (5\sqrt{2})^2$
- 공식 내부의 항들을 올바르게 단순화함. (A1)
- $(p-2)^2 + (-5)^2 = 50$
- $(p-2)^2 + 25 = 50$
- 주어진 방정식을 얻기 위해 식을 전개하고 재정리함. (A1)
- $p^2 – 4p + 4 + 25 = 50$
- $p^2 – 4p – 21 = 0$
- AG (답이 주어짐)
[3점]
(b) (a)의 결과를 이용하여, 가능한 $p$의 두 값을 구하시오.
- 이차방정식을 풀려는 시도 (예: 인수분해, 근의 공식 사용). (M1)
- $(p-7)(p+3) = 0$
- 두 개의 정확한 값을 모두 구함. (A1)
- $p = 7, p = -3$
[2점]
(c) 태양 전지판은 … $k$의 최소 정수값을 구하시오.
- B 지점의 가능한 두 위치의 x좌표를 구함. (M1)
- $p=7$ 일 때, x좌표는 $p+1 = 7+1 = 8$.
- $p=-3$ 일 때, x좌표는 $p+1 = -3+1 = -2$.
- 올바른 부등식을 설정함 (두 x좌표가 모두 k보다 작아야 함을 인식). (R1)
- 따라서, $k$는 8보다 커야 한다 ($k > 8$).
- $k$의 최소 정수값을 명시함. (A1)
- $k > 8$을 만족하는 가장 작은 정수 $k$는 9이다.
- $k=9$.
[3점]