수학 문제 풀이
문제 분석
문제는 실수 $a, b, c$를 계수로 갖는 삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$에 대한 것입니다. 방정식 $f(x)=0$의 한 근이 $\alpha$일 때, $\alpha^3$ 또한 $f(x)=0$의 “또 다른 근”이 된다고 합니다. 이러한 조건을 만족하는 모든 $f(x)$들의 합을 $g(x)$라고 할 때, $g(-1)$의 값을 구하는 것이 목표입니다. 단, $f(x)=0$의 한 근은 허근이라는 조건이 주어져 있습니다.
문제 풀이
주어진 삼차함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$는 계수 $a, b, c$가 실수입니다. 방정식 $f(x)=0$의 한 근이 허근 $\alpha$라고 주어졌으므로, 켤레 복소수 $\bar{\alpha}$ (알파의 켤레 복소수) 또한 $f(x)=0$의 근이 됩니다. $f(x)$는 삼차함수이므로 총 세 개의 근을 가집니다. 따라서 $f(x)=0$의 세 근은 $\alpha$, $\bar{\alpha}$, 그리고 나머지 한 근이 됩니다.
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$\alpha^3$은 실수여야 한다.
문제 조건에 따르면 $\alpha^3$도 $f(x)=0$의 근입니다. 만약 $\alpha^3$이 허수라면, 계수가 실수이므로 $\overline{\alpha^3}$도 근이 되어야 합니다. 이 경우 $f(x)$는 $\alpha, \bar{\alpha}, \alpha^3, \overline{\alpha^3}$의 네 개의 근을 갖게 되어 삼차방정식이라는 조건에 모순됩니다. 따라서 $\alpha^3$은 반드시 실수여야 합니다.
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$\alpha^3$이 실수가 될 조건
복소수 $\alpha$를 극형식으로 $\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ($r$은 양의 실수, $\theta$는 편각)라고 표현할 수 있습니다.
그러면 $\alpha^3 = r^3(\cos3\theta + i\sin3\theta)$가 됩니다.
$\alpha^3$이 실수이려면 허수 부분이 0이 되어야 하므로 $\sin3\theta = 0$이어야 합니다.
$3\theta = n\pi \quad (\text{단, } n\text{은 정수})$이므로 $\theta = \frac{n\pi}{3}$입니다.
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$\alpha$가 허근일 조건
$\alpha$는 허근이므로 $\sin\theta \neq 0$이어야 합니다. 즉, $\theta$는 $0, \pi, 2\pi$와 같은 값들을 가질 수 없습니다.
따라서 $\theta$의 가능한 값들은 $\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ 등이 있습니다.
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“또 다른 근”의 의미 및 $|\alpha|=1$ 해석
문제에서 “$\alpha^3$도 방정식 $f(x)=0$의 또 다른 근이 될 때”라는 표현은 $\alpha^3$이 $\alpha$나 $\bar{\alpha}$와는 다른 값이어야 함을 시사합니다.
- 만약 $\alpha^3 = \alpha$라면, $\alpha^2 = 1$이므로 $\alpha = \pm 1$입니다. 이는 $\alpha$가 허근이라는 조건에 모순됩니다.
- 만약 $\alpha^3 = \bar{\alpha}$라면, $|\alpha|=1$이 되고, $\alpha = \pm i$가 됩니다. 이 경우 $f(x)$의 계수가 실수가 되지 않으므로 (예: $\alpha=i$일 때 $f(x) = x^3+ix^2-3x+i$), 조건을 만족하지 않습니다.
따라서 $\alpha^3$은 $\alpha$나 $\bar{\alpha}$와 다른 실수 근이어야 합니다. 만약 $|\alpha| \neq 1$이라면, $\alpha$의 절댓값 $r$에 따라 $f(x)$가 무수히 많이 존재하게 되어 모든 $f(x)$의 합 $g(x)$가 하나의 다항함수로 표현될 수 없습니다. 일반적으로 이러한 문제 유형에서는 유한한 해가 도출되도록 의도하므로, $\alpha$의 절댓값이 $1$인 경우를 고려하는 것이 타당합니다.
즉, $|\alpha|=1$이고 $\alpha^3$이 $\alpha$나 $\bar{\alpha}$와 다른 실수인 경우를 찾습니다.
$\theta = n\pi/3$ 이면서 $|\alpha|=1$ 이므로, $\alpha = e^{i\theta}$ 형태입니다.
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Case 1: $\theta = \frac{\pi}{3}$
$\alpha = e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. 이때 $\alpha^3 = e^{i\pi} = -1$입니다.
세 근은 $\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $-1$입니다.
$f(x) = \left(x – \left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) \left(x – \left(\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) (x – (-1))$$f(x) = \left(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 – \left(i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\right) (x+1)$$f(x) = \left(x^2 – x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\right) (x+1) = (x^2 – x + 1)(x+1) = x^3+1$.이 $f(x)$는 계수가 실수 조건을 만족합니다.
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Case 2: $\theta = \frac{2\pi}{3}$
$\alpha = e^{i2\pi/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. 이때 $\alpha^3 = e^{i2\pi} = 1$입니다.
세 근은 $-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $-\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $1$입니다.
$f(x) = \left(x – \left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) \left(x – \left(-\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) (x – 1)$$f(x) = \left(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 – \left(i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\right) (x-1)$$f(x) = \left(x^2 + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\right) (x-1) = (x^2 + x + 1)(x-1) = x^3-1$.이 $f(x)$도 계수가 실수 조건을 만족합니다.
($\theta = \frac{4\pi}{3}$와 $\theta = \frac{5\pi}{3}$인 경우는 각각 위 두 가지 경우와 같은 $f(x)$를 생성합니다.)
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모든 $f(x)$의 합 $g(x)$ 계산
위에서 찾은 두 가지 $f(x)$가 문제 조건을 만족하는 유일한 경우들입니다.
$g(x) = (x^3+1) + (x^3-1) = 2x^3$. -
$g(-1)$ 값 계산
$g(-1) = 2(-1)^3 = 2(-1) = -2$.