14번
14. 1부터 5까지 자연수가 각각 하나씩 적힌 빨간 공 5개와 1부터 5까지 자연수가 각각 하나씩 적힌 파란 공 5개가 들어있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 공에 적힌 수가 적어도 1개는 홀수이고 공의 색깔이 적어도 1개는 파란색일 확률은? [5.0점]
정답: ⑤
‘적어도 ~이고, 적어도 ~인’ 형태의 확률 문제는 여사건(complementary event)의 확률을 이용하는 것이 효과적입니다.
먼저, 문제에서 구하고자 하는 사건을 정의합니다.
– 사건 A: 꺼낸 공 중 적어도 1개의 숫자가 홀수인 사건
– 사건 B: 꺼낸 공 중 적어도 1개가 파란색인 사건
우리가 구해야 할 확률은 $P(A \cap B)$ 입니다. 여사건의 확률을 이용하면 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
$P(A \cap B) = 1 – P((A \cap B)^c) = 1 – P(A^c \cup B^c)$
여기서 각 여사건은 다음과 같습니다.
– $A^c$: 꺼낸 공 3개의 숫자가 모두 짝수인 사건
– $B^c$: 꺼낸 공 3개의 색깔이 모두 빨간색인 사건
1. 공의 종류 분류 및 전체 경우의 수
주머니 속의 공 10개를 분류하면 다음과 같습니다.
– 빨간 공 (5개): 홀수 {R1, R3, R5} (3개), 짝수 {R2, R4} (2개)
– 파란 공 (5개): 홀수 {B1, B3, B5} (3개), 짝수 {B2, B4} (2개)
전체 10개의 공 중에서 3개를 꺼내는 전체 경우의 수는:
$$ n(S) = _{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \text{가지} $$
2. 여사건의 확률 계산
포함-배제의 원리 $P(A^c \cup B^c) = P(A^c) + P(B^c) – P(A^c \cap B^c)$를 이용합니다.
-
$P(A^c)$: 3개 모두 짝수일 확률
전체 짝수 공은 {R2, R4, B2, B4}로 총 4개입니다. 이 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는:
$n(A^c) = _4C_3 = 4$가지.
따라서, $P(A^c) = \frac{4}{120}$ -
$P(B^c)$: 3개 모두 빨간색일 확률
빨간 공은 총 5개입니다. 이 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는:
$n(B^c) = _5C_3 = _5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$가지.
따라서, $P(B^c) = \frac{10}{120}$ -
$P(A^c \cap B^c)$: 3개 모두 짝수이면서 모두 빨간색일 확률
짝수이면서 빨간색인 공은 {R2, R4}로 2개뿐입니다. 이 중에서 3개를 뽑는 것은 불가능합니다.
$n(A^c \cap B^c) = _2C_3 = 0$가지.
따라서, $P(A^c \cap B^c) = 0$
3. 최종 확률 계산
먼저 $P(A^c \cup B^c)$를 계산합니다.
$$ P(A^c \cup B^c) = \frac{4}{120} + \frac{10}{120} – 0 = \frac{14}{120} $$
이제 우리가 구하고자 하는 최종 확률을 계산합니다.
$$ P(A \cap B) = 1 – P(A^c \cup B^c) = 1 – \frac{14}{120} = \frac{106}{120} = \frac{53}{60} $$
따라서 정답은 ⑤번입니다.
15번
15. 그림과 같이 밑면이 정오각형인 오각기둥의 7개 면을 A색과 B색을 포함한 총 7가지의 서로 다른 색을 모두 사용하여 색칠하려고 한다. 이때, A색과 B색을 서로 이웃하게 색칠할 확률은? (단, 한 면에는 한 가지 색만 사용하고, 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 본다.) [5.1점]
정답: ⑤
이 문제는 경우의 수를 직접 계산하거나, 확률의 성질을 이용하여 풀 수 있습니다. 확률을 이용하는 것이 더 간결합니다.
풀이 1: 확률을 이용한 접근
전체 7개의 면 중에서 A색을 칠할 면을 먼저 선택하고, 그 다음 B색을 칠할 면이 A색 면과 이웃할 확률을 계산합니다. 오각기둥의 면은 위치에 따라 성질이 다르므로, A의 위치를 ‘밑면’과 ‘옆면’ 두 경우로 나누어 생각합니다.
-
1. A색을 밑면에 칠할 경우
- 7개 면 중 2개가 밑면이므로 A색이 밑면에 칠해질 확률은 $\frac{2}{7}$입니다.
- A색이 한 밑면에 칠해졌을 때, 남은 6개의 면 중에서 A면과 이웃한 면은 5개의 옆면입니다.
- 따라서 이때 B색이 A색과 이웃하게 칠해질 확률은 $\frac{5}{6}$입니다.
- 이 경우의 전체 확률은: $P_1 = \frac{2}{7} \times \frac{5}{6} = \frac{10}{42}$
-
2. A색을 옆면에 칠할 경우
- 7개 면 중 5개가 옆면이므로 A색이 옆면에 칠해질 확률은 $\frac{5}{7}$입니다.
- A색이 한 옆면에 칠해졌을 때, 남은 6개의 면 중에서 A면과 이웃한 면은 위, 아래 밑면 2개와 양옆의 옆면 2개, 총 4개입니다.
- 따라서 이때 B색이 A색과 이웃하게 칠해질 확률은 $\frac{4}{6}$입니다.
- 이 경우의 전체 확률은: $P_2 = \frac{5}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{20}{42}$
3. 최종 확률 계산
두 경우는 동시에 일어날 수 없으므로, 두 확률을 더합니다.
$ P(\text{A, B 이웃}) = P_1 + P_2 = \frac{10}{42} + \frac{20}{42} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7} $
풀이 2: 경우의 수를 이용한 접근
1. 모든 경우의 수 (분모)
오각기둥을 7가지 색으로 칠하는 방법의 수입니다. 회전하여 같은 것은 하나로 봅니다.
- 먼저 밑면 두 개에 칠할 색 2개를 7개에서 고릅니다: $ _7C_2 = 21 $가지.
- 남은 5가지 색을 옆면에 칠합니다. 옆면은 원형으로 배열하는 것과 같으므로 원순열을 적용합니다: $(5-1)! = 4! = 24$가지.
- 위아래 밑면은 서로 구별되지 않으므로(뒤집어도 모양이 같음), $ _7C_2 $가 아닌 $ _7P_2 $로 계산한 후 2로 나누어주거나, 처음부터 $ _7C_2 $를 사용합니다. (단, 문제에서 회전만 고려하므로 뒤집는 경우는 제외할 수 있으나, 일반적으로 입체도형의 회전은 3차원 공간에서의 회전을 의미하므로 뒤집는 것을 포함합니다.)
전체 경우의 수 = $ _7C_2 \times (5-1)! = 21 \times 24 = 504$가지.
2. A와 B가 이웃하는 경우의 수 (분자)
- A, B가 밑면과 옆면에 이웃하는 경우:
- A를 칠할 밑면 선택(2가지), B를 칠할 옆면 선택(5가지). A, B 위치 바꿀 수 있음(2!). 하지만 회전을 고려하면 기준을 잡는 것이므로 A를 윗면에 고정(1가지), B를 칠할 옆면 선택(5가지)로 단순화할 수 있습니다.
- A를 윗면에, B를 한 옆면에 칠하면(A, B 위치 바꿀 수 있으니 $2!$가지), 남은 5색을 5면에 칠하는 경우의 수는 $5!$입니다. 따라서 $ (1 \times 5) \times 2 \times 5! $… 이 계산은 매우 복잡해집니다.
- 다른 접근: (이웃한 면의 쌍) x (A,B 배열) x (나머지 배열)
- 밑면-옆면 이웃 쌍: 윗면과 5개 옆면, 아랫면과 5개 옆면 = 10쌍
- A, B를 이 쌍에 칠하는 경우: $2!$
- 나머지 5색을 5면에 칠하는 경우: $5!$
- 경우의 수: $10 \times 2! \times 5! = 10 \times 2 \times 120 = 2400$
- A, B가 옆면끼리 이웃하는 경우:
- 이웃한 옆면 쌍: 5쌍
- A, B를 이 쌍에 칠하는 경우: $2!$
- 나머지 5색을 5면에 칠하는 경우: $5!$
- 경우의 수: $5 \times 2! \times 5! = 5 \times 2 \times 120 = 1200$
오각기둥의 대칭성(회전 및 뒤집기)은 10가지이므로, 중복을 제거합니다.
이웃하는 경우의 수 = $\frac{3600}{10} = 360$가지.
(전체 경우의 수도 $7!/10 = 504$가지로 계산 가능합니다.)
3. 최종 확률
$ P = \frac{\text{이웃하는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{360}{504} = \frac{5}{7} $
두 가지 방법 모두 같은 결과인 ⑤ $\frac{5}{7}$를 가리킵니다.
16번
16. 주머니에 1부터 8까지의 자연수가 하나씩 적힌 8개의 공이 들어있다. 이 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 3개의 공에 적힌 수를 작은 것부터 차례대로 $a, b, c$라 하자. $a+b+c$가 홀수일 때, $b$가 홀수일 확률은? [5.2점]
정답: ④
이 문제는 조건부 확률 문제입니다.
사건 B: $a+b+c$가 홀수인 사건
사건 A: $b$가 홀수인 사건
우리가 구해야 할 확률은 $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$ 입니다.
먼저, 1부터 8까지의 자연수를 홀수와 짝수로 나눕니다.
– 홀수(O): {1, 3, 5, 7} (4개)
– 짝수(E): {2, 4, 6, 8} (4개)
1. $a+b+c$가 홀수인 경우의 수 ($n(B)$) 구하기
세 수의 합이 홀수가 되려면 다음 두 가지 경우가 있습니다.
-
경우 1: (홀수, 홀수, 홀수)
4개의 홀수 중에서 3개를 뽑는 경우입니다.
경우의 수 = $ _4C_3 = 4 $가지 -
경우 2: (홀수, 짝수, 짝수)
4개의 홀수 중에서 1개를 뽑고, 4개의 짝수 중에서 2개를 뽑는 경우입니다.
경우의 수 = $ _4C_1 \times _4C_2 = 4 \times \frac{4 \times 3}{2} = 4 \times 6 = 24 $가지
따라서 $a+b+c$가 홀수인 전체 경우의 수 $n(B)$는
$n(B) = 4 + 24 = \strong{28}$가지입니다.
2. ($a+b+c$가 홀수)이면서 ($b$가 홀수)인 경우의 수 ($n(A \cap B)$) 구하기
위에서 구한 두 경우 각각에 대해 $b$가 홀수인지 확인합니다. ($a < b < c$)
-
경우 1: (홀수, 홀수, 홀수)를 뽑았을 때
뽑은 세 수가 모두 홀수이므로, 크기순으로 나열했을 때 가운데 수인 $b$는 항상 홀수입니다.
따라서 4가지 경우 모두 해당됩니다. ($n_1 = 4$) -
경우 2: (홀수 1개, 짝수 2개)를 뽑았을 때
$b$가 홀수가 되려면, 뽑은 홀수 1개가 세 수 중 크기순으로 중간에 위치해야 합니다. 즉, (짝수 < 홀수 < 짝수) 형태가 되어야 합니다.
– 뽑은 홀수가 1인 경우: 불가능 (1보다 작은 짝수 없음)
– 뽑은 홀수가 3인 경우: 3보다 작은 짝수 {2}에서 1개, 3보다 큰 짝수 {4, 6, 8}에서 1개 뽑아야 함. ($ _1C_1 \times _3C_1 = 1 \times 3 = 3$가지)
– 뽑은 홀수가 5인 경우: 5보다 작은 짝수 {2, 4}에서 1개, 5보다 큰 짝수 {6, 8}에서 1개 뽑아야 함. ($ _2C_1 \times _2C_1 = 2 \times 2 = 4$가지)
– 뽑은 홀수가 7인 경우: 7보다 작은 짝수 {2, 4, 6}에서 1개, 7보다 큰 짝수 {8}에서 1개 뽑아야 함. ($ _3C_1 \times _1C_1 = 3 \times 1 = 3$가지)
이 경우의 수는 $3 + 4 + 3 = 10$가지입니다. ($n_2 = 10$)
따라서 ($a+b+c$가 홀수)이면서 ($b$가 홀수)인 경우의 수 $n(A \cap B)$는
$n(A \cap B) = n_1 + n_2 = 4 + 10 = \strong{14}$가지입니다.
$ P(b\text{가 홀수} | a+b+c\text{가 홀수}) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} $
그러므로 정답은 ④입니다.
논술형1번
다음은 어떤 학생 A가 사과맛 사탕 7개와 포도맛 사탕 6개가 들어 있는 상자에서 임의로 사탕 2개를 동시에 꺼낼 때, 사탕 2개가 서로 다른 맛일 확률을 구한 것이다. 다음 물음에 답하시오. [총 5.0점]
(1) 수학적 확률의 뜻(정의)에 비추어 학생 A가 구한 확률이 옳은지 답하고 그 이유를 서술하시오. [3.0점]
(2) 학생 A가 구한 확률이 틀렸다면, 옳게 구한 확률을 구하고 그 과정을 서술하시오. [2.0점]
(1) 학생 A의 풀이 평가
학생 A가 구한 확률($\frac{1}{3}$)은 틀렸다.
이유:
수학적 확률은 ‘어떤 시행에서 표본공간의 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때’ 사용할 수 있다. 학생 A는 나올 수 있는 경우를 ‘사과 2개’, ‘사과 1개와 포도 1개’, ‘포도 2개’의 3가지로 나누었다. 하지만 이 3가지 경우는 일어날 가능성이 동등하지 않다.
각각의 경우가 나오는 실제 경우의 수는 다음과 같이 다르다.
- 사과 2개를 뽑는 경우의 수: $ _7C_2 = 21 $가지
- 사과 1개, 포도 1개를 뽑는 경우의 수: $ _7C_1 \times _6C_1 = 42 $가지
- 포도 2개를 뽑는 경우의 수: $ _6C_2 = 15 $가지
(2) 올바른 확률 계산
전체 사탕의 개수는 사과맛 7개, 포도맛 6개이므로 총 13개이다.
1. 전체 경우의 수 구하기
13개의 사탕 중에서 순서에 상관없이 2개를 동시에 꺼내는 경우의 수는 조합(Combination)을 이용하여 계산한다.
전체 경우의 수 = $ _{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78 $
2. 두 사탕이 서로 다른 맛일 경우의 수 구하기
사과맛 사탕 7개 중에서 1개를 꺼내고, 동시에 포도맛 사탕 6개 중에서 1개를 꺼내는 경우의 수이다.
사건의 경우의 수 = (사과맛 1개 뽑는 경우) $\times$ (포도맛 1
논술형2번
갑, 을, 병을 포함한 6명의 학생이 일렬로 줄을 서려고 한다. 다음 물음에 답하시오. [총 6.0점]
(1) 갑과 을이 서로 이웃할 확률을 구하고 그 과정을 서술하시오. [2.0점]
(2) 갑과 을이 서로 이웃하거나 갑과 병이 서로 이웃할 확률을 구하고 그 과정을 서술하시오. [4.0점]
(1) 갑과 을이 서로 이웃할 확률
1. 전체 경우의 수
6명의 학생이 일렬로 줄을 서는 모든 경우의 수는 6명의 순열이므로 다음과 같습니다.
$$ n(S) = 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 $$
2. 갑과 을이 이웃하는 경우의 수
갑과 을을 하나의 묶음으로 생각합니다. 그러면 (갑,을), 병, 나머지 3명의 학생, 총 5개의 단위를 배열하는 것과 같습니다.
– 5개의 단위를 배열하는 경우의 수: $5! = 120$
– 묶음 안에서 갑과 을이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수: $2! = 2$
따라서 갑과 을이 이웃하는 경우의 수는 두 경우를 곱한 값입니다.
$$ n(A) = 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240 $$
3. 확률 계산
갑과 을이 이웃할 확률은 다음과 같습니다.
$$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{240}{720} = \frac{1}{3} $$
답: 확률은 $\frac{1}{3}$이다.
(2) 갑과 을이 이웃하거나, 갑과 병이 이웃할 확률
이 문제는 확률의 덧셈정리 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$를 이용하여 해결합니다.
– 사건 A: 갑과 을이 이웃하는 사건
– 사건 B: 갑과 병이 이웃하는 사건
1. $P(A)$와 $P(B)$ 계산
– $P(A)$는 (1)에서 구한 바와 같이 $\frac{1}{3}$입니다.
– $P(B)$는 갑과 병이 이웃할 확률이며, (1)과 동일한 논리로 계산할 수 있습니다. 갑과 병을 묶어서 생각하면 되므로, 그 확률 역시 $\frac{1}{3}$입니다.
2. $P(A \cap B)$ 계산
사건 $A \cap B$는 ‘갑과 을이 이웃’하고 ‘갑과 병이 이웃’하는 사건입니다. 이는 ‘을-갑-병’ 또는 ‘병-갑-을’의 순서로 세 사람이 함께 이웃하는 것을 의미합니다.
– 이 세 사람을 하나의 묶음으로 생각합니다. 그러면 (세 사람 묶음), 나머지 3명의 학생, 총 4개의 단위를 배열하는 것과 같습니다.
– 4개의 단위를 배열하는 경우의 수: $4! = 24$
– 묶음 안에서 ‘을-갑-병’ 또는 ‘병-갑-을’로 배열되는 경우의 수: $2! = 2$
– 따라서 세 사람이 조건에 맞게 이웃하는 경우의 수는 $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$입니다.
– 확률 $P(A \cap B)$는 다음과 같습니다.
$$ P(A \cap B) = \frac{48}{720} = \frac{1}{15} $$
3. 최종 확률 계산
확률의 덧셈정리에 따라 최종 확률을 계산합니다.
$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{15} $$
$$ = \frac{5}{15} + \frac{5}{15} – \frac{1}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $$
답: 확률은 $\frac{3}{5}$이다.
논술형3번
집합 $\{x | x\text{는 } 8\text{이하의 자연수}\}$의 부분집합 중 임의로 하나를 택하여 $X$라 할 때, 집합 $X$가 (가)를 만족한다는 조건 아래에서 (나)를 만족시킬 확률을 구하고 그 과정을 서술하시오. [총 7.0점]
(가) 집합 $X$의 원소의 개수는 4이다.
(나) 집합 $X$의 서로 다른 세 원소의 합은 항상 3의 배수가 아니다.
이 문제는 조건부 확률을 구하는 문제입니다. 조건 (가)를 만족하는 사건을 $A$, 조건 (나)를 만족하는 사건을 $B$라 하면, 우리가 구하고자 하는 확률은 $P(B|A)$입니다. $$ P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} $$
1단계: 조건 (가)를 만족하는 경우의 수 $n(A)$ 구하기
전체 집합은 $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$입니다. 조건 (가)는 집합 $X$의 원소의 개수가 4인 경우이므로, 전체 집합 $S$의 원소 8개 중에서 4개를 선택하는 조합의 수와 같습니다. $$ n(A) = \binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 $$
2단계: 조건 (가)와 (나)를 모두 만족하는 경우의 수 $n(A \cap B)$ 구하기
조건 (나)는 “집합 $X$의 서로 다른 세 원소의 합은 항상 3의 배수가 아니다”입니다. 세 수의 합이 3의 배수가 되는 경우를 분석하기 위해, 집합 $S$의 원소를 3으로 나눈 나머지를 기준으로 분류합니다.
- 나머지가 0인 집합 ($S_0$): $\{3, 6\}$ (2개)
- 나머지가 1인 집합 ($S_1$): $\{1, 4, 7\}$ (3개)
- 나머지가 2인 집합 ($S_2$): $\{2, 5, 8\}$ (3개)
세 원소의 합이 3의 배수가 되는 경우는 다음과 같습니다.
- (나머지 0) + (나머지 0) + (나머지 0)
- (나머지 1) + (나머지 1) + (나머지 1)
- (나머지 2) + (나머지 2) + (나머지 2)
- (나머지 0) + (나머지 1) + (나머지 2)
- $n_1 < 3$ (위 2번 경우 방지), $n_2 < 3$ (위 3번 경우 방지). $S_0$는 원소가 2개이므로 $n_0 < 3$은 항상 만족.
- $n_0, n_1, n_2$ 중 적어도 하나는 0이어야 함 (위 4번 경우 방지).
따라서 조건 (가)와 (나)를 모두 만족하는 집합 $X$의 구성 $(n_0, n_1, n_2)$는 다음 조건을 만족해야 합니다.
- $n_0 + n_1 + n_2 = 4$ (원소의 개수는 4)
- $0 \le n_0 \le 2$, $0 \le n_1 \le 2$, $0 \le n_2 \le 2$ (각 집합의 원소 수 및 조건(나)에 의한 제약)
- $n_0, n_1, n_2$ 중 적어도 하나는 0
- 경우 1: $(n_0, n_1, n_2) = (2, 2, 0)$
$S_0$에서 2개, $S_1$에서 2개, $S_2$에서 0개를 뽑는 경우입니다.
경우의 수: $\binom{2}{2} \times \binom{3}{2} \times \binom{3}{0} = 1 \times 3 \times 1 = 3$ - 경우 2: $(n_0, n_1, n_2) = (2, 0, 2)$
$S_0$에서 2개, $S_1$에서 0개, $S_2$에서 2개를 뽑는 경우입니다.
경우의 수: $\binom{2}{2} \times \binom{3}{0} \times \binom{3}{2} = 1 \times 1 \times 3 = 3$ - 경우 3: $(n_0, n_1, n_2) = (0, 2, 2)$
$S_0$에서 0개, $S_1$에서 2개, $S_2$에서 2개를 뽑는 경우입니다.
경우의 수: $\binom{2}{0} \times \binom{3}{2} \times \binom{3}{2} = 1 \times 3 \times 3 = 9$
3단계: 최종 확률 계산
조건 (가)를 만족할 때 조건 (나)를 만족할 조건부 확률은 다음과 같습니다.
$$ P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{15}{70} = \frac{3}{14} $$
따라서 구하는 확률은 $\frac{3}{14}$입니다.
논술형4번
빨간 공 3개, 파란 공 6개가 들어있는 상자 A와 동전 4개가 있다. 4개의 동전을 동시에 던져 앞면이 나온 개수를 $k$라 하자. 4개의 동전을 동시에 한 번 던진 후 다음 조건을 만족시키도록 게임을 할 때, 게임을 1회 실시한 후 얻은 점수가 10점 또는 11점이 될 확률을 구하고 그 과정을 서술하시오. [7.0점]
조건 (1)
$k=2$일 때, 상자 A에서 임의로 공 1개를 꺼내서 색깔을 확인하고 다시 넣는 시행을 5회 반복한다.
조건 (2)
$k=3$일 때, 상자 A에서 임의로 공 1개를 꺼내서 색깔을 확인하고 다시 넣는 시행을 4회 반복한다.
조건 (3)
$k \neq 2$이고 $k \neq 3$일 때, 상자 A에서 공을 꺼내지 않는다.
조건 (4)
꺼낸 공의 색깔에 따라서 빨간 공은 1개당 3점, 파란 공은 1개당 2점의 점수를 부여한다.
게임에서 점수를 얻기 위해서는 조건 (3)에 따라 동전의 앞면이 나온 횟수 $k$가 2 또는 3이어야 합니다. 따라서 점수가 10점 또는 11점이 되는 경우는 다음 두 가지로 나누어 생각할 수 있습니다.
- 사건 1: $k=2$이고, 5회의 공 뽑기 결과 점수가 10점 또는 11점인 경우
- 사건 2: $k=3$이고, 4회의 공 뽑기 결과 점수가 10점 또는 11점인 경우
1단계: 동전 던지기와 공 뽑기의 기본 확률 계산
동전 던지기: 4개의 동전을 던지는 것은 독립시행이며, 앞면이 나올 확률은 $\frac{1}{2}$입니다. $k$값에 대한 확률은 이항분포 $B(4, \frac{1}{2})$를 따릅니다.
– $k=2$일 확률: $P(k=2) = \binom{4}{2}(\frac{1}{2})^4 = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$
– $k=3$일 확률: $P(k=3) = \binom{4}{3}(\frac{1}{2})^4 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
공 뽑기: 상자 A에는 빨간 공 3개, 파란 공 6개(총 9개)가 있습니다. 공을 다시 넣으므로 각 시행은 독립입니다.
– 빨간 공(R)을 뽑을 확률: $P(R) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
– 파란 공(B)을 뽑을 확률: $P(B) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
2단계: 사건 1 ($k=2$일 경우)의 확률 계산
$k=2$일 때, 5회의 공 뽑기를 시행합니다. 빨간 공이 나온 횟수를 $r$, 파란 공이 나온 횟수를 $b$라 하면 $r+b=5$입니다.
총점 $S = 3r + 2b$ 입니다. $b=5-r$을 대입하면,
$S = 3r + 2(5-r) = 3r + 10 – 2r = r + 10$.
- 총점이 10점일 경우: $10 = r+10 \Rightarrow r=0$. (빨간 공 0번, 파란 공 5번)
- 총점이 11점일 경우: $11 = r+10 \Rightarrow r=1$. (빨간 공 1번, 파란 공 4번)
이제 이 두 경우의 확률을 독립시행의 확률로 구합니다.
– $P(r=0) = \binom{5}{0}(\frac{1}{3})^0(\frac{2}{3})^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{32}{243} = \frac{32}{243}$
– $P(r=1) = \binom{5}{1}(\frac{1}{3})^1(\frac{2}{3})^4 = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{81} = \frac{80}{243}$
따라서 $k=2$일 때 점수가 10점 또는 11점일 조건부 확률은 $\frac{32}{243} + \frac{80}{243} = \frac{112}{243}$ 입니다.
사건 1의 전체 확률 = $P(k=2) \times P(\text{점수 10 or 11}|k=2) = \frac{3}{8} \times \frac{112}{243} = \frac{1}{1} \times \frac{14}{81} = \frac{14}{81}$.
3단계: 사건 2 ($k=3$일 경우)의 확률 계산
$k=3$일 때, 4회의 공 뽑기를 시행합니다. 빨간 공이 나온 횟수를 $r$, 파란 공이 나온 횟수를 $b$라 하면 $r+b=4$입니다.
총점 $S = 3r + 2b$ 입니다. $b=4-r$을 대입하면,
$S = 3r + 2(4-r) = 3r + 8 – 2r = r + 8$.
- 총점이 10점일 경우: $10 = r+8 \Rightarrow r=2$. (빨간 공 2번, 파란 공 2번)
- 총점이 11점일 경우: $11 = r+8 \Rightarrow r=3$. (빨간 공 3번, 파란 공 1번)
이 두 경우의 확률을 구합니다.
– $P(r=2) = \binom{4}{2}(\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})^2 = 6 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{81}$
– $P(r=3) = \binom{4}{3}(\frac{1}{3})^3(\frac{2}{3})^1 = 4 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{81}$
따라서 $k=3$일 때 점수가 10점 또는 11점일 조건부 확률은 $\frac{24}{81} + \frac{8}{81} = \frac{32}{81}$ 입니다.
사건 2의 전체 확률 = $P(k=3) \times P(\text{점수 10 or 11}|k=3) = \frac{1}{4} \times \frac{32}{81} = \frac{8}{81}$.
4단계: 최종 확률 계산
점수가 10점 또는 11점이 될 총 확률은 사건 1과 사건 2의 확률을 더한 값입니다.
$$ P(\text{총점 10 or 11}) = P(\text{사건 1}) + P(\text{사건 2}) = \frac{14}{81} + \frac{8}{81} = \frac{22}{81} $$
따라서 게임을 1회 실시한 후 얻은 점수가 10점 또는 11점이 될 확률은 $\frac{22}{81}$입니다.