2024년 1학기 중간고사 기출 – 반송고 [확률과 통계]

2024년 반송고 중간고사 기출 문제 풀이 [확률과 통계]

2024년 1학기 중간고사 기출 – 반송고 [확률과 통계]

문제 및 해설

1. 서로 다른 2개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수가 서로 다를 확률은? [4.0점]

  • ① \( \frac{1}{6} \)
  • ② \( \frac{1}{3} \)
  • ③ \( \frac{1}{2} \)
  • ④ \( \frac{2}{3} \)
  • ⑤ \( \frac{5}{6} \)

상세 풀이

전체 경우의 수를 먼저 계산합니다. 서로 다른 주사위 2개를 던지므로, 가능한 모든 경우의 수는 \( 6 \times 6 = 36 \)가지입니다.

두 눈의 수가 ‘서로 다를 확률’을 구하는 것이므로, 여사건인 ‘두 눈의 수가 서로 같을 확률’을 이용하여 푸는 것이 더 간단합니다.

두 눈의 수가 서로 같은 경우: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)으로 총 6가지입니다.

따라서, 두 눈의 수가 서로 다른 경우의 수는 전체 경우의 수에서 서로 같은 경우의 수를 빼면 됩니다.

\( 36 – 6 = 30 \)가지입니다.

구하는 확률은 (서로 다른 경우의 수) / (전체 경우의 수) 이므로,

\( \frac{30}{36} = \frac{5}{6} \)

정답: ⑤

2. 두 사건 \( A, B \)가 서로 독립이고, \( P(A) = \frac{1}{2} \), \( P(B) = \frac{3}{5} \)일 때, \( P(A \cup B) \)의 값은? [4.1점]

  • ① \( \frac{1}{2} \)
  • ② \( \frac{3}{5} \)
  • ③ \( \frac{7}{10} \)
  • ④ \( \frac{4}{5} \)
  • ⑤ \( \frac{9}{10} \)

상세 풀이

확률의 덧셈정리에 의해 \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) 입니다.

두 사건 A와 B가 서로 독립이므로, 곱셈정리에 의해 \( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)가 성립합니다.

먼저 \( P(A \cap B) \)를 계산합니다.

\( P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10} \)

이제 이 값을 덧셈정리 식에 대입합니다.

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{5} – \frac{3}{10} \)

통분하여 계산하면,

\( \frac{5}{10} + \frac{6}{10} – \frac{3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \)

정답: ④

3. 두 사건 \( A \)와 \( B \)가 서로 배반사건이고, \( P(A) + P(B) = \frac{2}{9} \)일 때, \( P(A^C \cap B^C) \)의 값을 \( \frac{p}{q} \)라 하자. 이때 \( p+q \)의 값은? (단, \( p, q \)는 서로소인 자연수이고, \( A^C, B^C \)는 각각 \( A \)와 \( B \)의 여사건이다.) [4.1점]

  • ① 15
  • ② 16
  • ③ 17
  • ④ 18
  • ⑤ 19

상세 풀이

먼저, 드 모르간의 법칙에 의해 \( P(A^C \cap B^C) = P((A \cup B)^C) \) 입니다.

어떤 사건의 여사건의 확률은 \( P(E^C) = 1 – P(E) \) 이므로,

\( P((A \cup B)^C) = 1 – P(A \cup B) \) 입니다.

따라서 우리는 \( P(A \cup B) \)의 값을 구해야 합니다.

두 사건 A와 B가 서로 배반사건이므로, 두 사건은 동시에 일어날 수 없습니다. 즉, \( P(A \cap B) = 0 \) 입니다.

확률의 덧셈정리 \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \)에 이 값을 대입하면,

\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – 0 = P(A) + P(B) \)

문제에서 \( P(A) + P(B) = \frac{2}{9} \)라고 주어졌으므로, \( P(A \cup B) = \frac{2}{9} \) 입니다.

이제 처음에 구하고자 했던 값을 계산합니다.

\( P(A^C \cap B^C) = 1 – P(A \cup B) = 1 – \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \)

이 값이 \( \frac{p}{q} \) 이고, p와 q는 서로소인 자연수이므로 \( p=7, q=9 \) 입니다.

따라서 \( p+q = 7+9 = 16 \) 입니다.

정답: ②

4. 1부터 100까지 자연수가 각각 적힌 100개의 공이 들어있는 바구니에서 임의로 1개의 공을 꺼낼 때, 15와 서로소인 수가 적힌 공을 꺼낼 확률이 \( \frac{k}{100} \)라고 하자. 상수 \( k \)의 값은? [4.3점]

  • ① 47
  • ② 49
  • ③ 51
  • ④ 53
  • ⑤ 55

상세 풀이

15와 서로소라는 것은, 15의 소인수인 3과 5를 약수로 갖지 않는 수를 의미합니다. 즉, 3의 배수도 아니고 5의 배수도 아닌 수의 개수를 찾는 문제입니다.

여사건을 이용하여 전체 100개에서 ‘3의 배수이거나 5의 배수’인 수의 개수를 빼는 방식으로 접근하겠습니다.

• 1부터 100까지 3의 배수의 개수(사건 A): \( \lfloor \frac{100}{3} \rfloor = 33 \)개

• 1부터 100까지 5의 배수의 개수(사건 B): \( \lfloor \frac{100}{5} \rfloor = 20 \)개

• ‘3의 배수이면서 5의 배수’, 즉 15의 배수의 개수(사건 A ∩ B): \( \lfloor \frac{100}{15} \rfloor = 6 \)개

포함-배제의 원리에 따라 ‘3의 배수이거나 5의 배수’인 수의 개수(\( n(A \cup B) \))는 다음과 같습니다.

\( n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) = 33 + 20 – 6 = 47 \)개

이 47개의 수는 15와 서로소가 아닌 수들입니다.

따라서 15와 서로소인 수의 개수는 전체 100개에서 47개를 뺀 값입니다.

\( k = 100 – 47 = 53 \)개

그러므로 구하는 상수 \( k \)의 값은 53입니다.

정답: ④

2024년 반송고 중간고사 기출 문제 풀이 [확률과 통계] – 2페이지

2024년 1학기 중간고사 기출 – 반송고 [확률과 통계] (2/2)

문제 및 해설

정육각형

5. 정육각형의 꼭짓점 6개 중에서 임의로 3개의 점을 택하여 삼각형을 만들 때, 이 삼각형이 직각삼각형일 확률은? [4.3점]

  • ① \( \frac{3}{10} \)
  • ② \( \frac{2}{5} \)
  • ③ \( \frac{1}{2} \)
  • ④ \( \frac{3}{5} \)
  • ⑤ \( \frac{7}{10} \)

상세 풀이

1. 전체 경우의 수 구하기

정육각형의 6개의 꼭짓점 중에서 3개를 선택하여 만들 수 있는 모든 삼각형의 개수를 구합니다. 이는 조합(Combination)을 사용합니다.

전체 경우의 수 = \( C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \)가지

2. 직각삼각형의 개수 구하기

정다각형의 외접원에서 직각삼각형이 만들어지기 위한 조건은, 빗변이 원의 지름이어야 한다는 것입니다.

정육각형에서는 마주보는 두 꼭짓점을 연결하면 총 3개의 지름을 그릴 수 있습니다.

하나의 지름을 빗변으로 선택했을 때, 나머지 한 점은 지름의 양 끝점을 제외한 4개의 꼭짓점 중 하나를 선택하면 직각삼각형이 됩니다. (예: 지름 AD를 선택하면, 점 B, C, E, F 중 하나를 선택하여 △ABD, △ACD, △AED, △AFD를 만들 수 있습니다.)

따라서, 직각삼각형의 개수는 (지름의 개수) × (나머지 선택 가능한 꼭짓점의 수) 입니다.

직각삼각형의 개수 = \( 3 \times 4 = 12 \)가지

3. 확률 계산하기

확률 = (직각삼각형의 개수) / (전체 삼각형의 개수)

\( P(\text{직각삼각형}) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \)

정답: ④

6. 빨간 공 5개, 파란 공 3개가 들어 있는 주머니에서 공을 임의로 한 번에 한 개씩 2번 꺼낼 때, 꺼낸 공 2개의 색이 다를 확률은? (단, 한 번 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.) [4.3점]

  • ① \( \frac{15}{28} \)
  • ② \( \frac{17}{28} \)
  • ③ \( \frac{13}{56} \)
  • ④ \( \frac{17}{56} \)
  • ⑤ \( \frac{19}{56} \)

상세 풀이

두 공의 색이 다른 경우는 다음 두 가지 시나리오로 나눌 수 있습니다.

시나리오 1: 첫 번째에 빨간 공, 두 번째에 파란 공을 꺼낼 경우

  • 첫 번째에 빨간 공을 꺼낼 확률: \( \frac{5}{8} \) (전체 8개 중 빨간 공 5개)
  • 두 번째에 파란 공을 꺼낼 확률: \( \frac{3}{7} \) (남은 7개 중 파란 공 3개)
  • 이 경우의 확률: \( \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56} \)

시나리오 2: 첫 번째에 파란 공, 두 번째에 빨간 공을 꺼낼 경우

  • 첫 번째에 파란 공을 꺼낼 확률: \( \frac{3}{8} \) (전체 8개 중 파란 공 3개)
  • 두 번째에 빨간 공을 꺼낼 확률: \( \frac{5}{7} \) (남은 7개 중 빨간 공 5개)
  • 이 경우의 확률: \( \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{15}{56} \)

두 시나리오는 동시에 일어날 수 없으므로, 전체 확률은 두 경우의 확률을 더한 값입니다.

전체 확률 = \( \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} \)

약분하면 \( \frac{30}{56} = \frac{15}{28} \) 입니다.

정답: ①

7. 표본공간 S의 두 사건 A, B가 서로 독립일 때, [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 0 < P(A) < 1, 0 < P(B) < 1 이고, Aᶜ, Bᶜ는 각각 A와 B의 여사건이다.) [4.5점]

[보기]

ㄱ. \( P(B^C|A^C) = 1 – P(B) \)

ㄴ. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)

ㄷ. \( 0 < P(B|A) < P(B) \)이면 \( (P(A))^2 - (P(B))^2 < 0 \)

  • ① ㄱ
  • ② ㄷ
  • ③ ㄱ, ㄴ
  • ④ ㄴ, ㄷ
  • ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

상세 풀이

문제의 전제 조건은 ‘두 사건 A, B가 서로 독립’이라는 것입니다. 각 보기를 이 조건 하에 분석해야 합니다.

ㄱ. \( P(B^C|A^C) = 1 – P(B) \)

두 사건 A와 B가 서로 독립이면, 각각의 여사건인 \(A^C\)와 \(B^C\)도 서로 독립입니다. 사건이 독립일 때, 조건부 확률은 원래 확률과 같습니다. 즉, \( P(B^C|A^C) = P(B^C) \) 입니다.

또한 여사건의 확률 공식에 의해 \( P(B^C) = 1 – P(B) \) 입니다.

따라서, \( P(B^C|A^C) = P(B^C) = 1 – P(B) \) 이므로, ㄱ은 옳은 설명입니다.

ㄴ. \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)

이 식이 성립하는 경우는 두 사건 A와 B가 서로 ‘배반사건’일 때입니다. 독립과 배반은 다른 개념입니다. 독립은 두 사건이 서로 영향을 주지 않는 것을 의미하고, 배반은 두 사건이 동시에 일어날 수 없음을 의미합니다. (단, \(P(A), P(B)\)가 모두 0보다 크므로 독립이면서 배반일 수는 없습니다.)

독립 사건의 덧셈정리는 \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B) \) 입니다. 따라서 ㄴ은 옳지 않습니다.

ㄷ. \( 0 < P(B|A) < P(B) \)이면 \( (P(A))^2 - (P(B))^2 < 0 \)

문제의 대전제에서 A와 B는 서로 독립이라고 했습니다. 사건이 독립일 때 \( P(B|A) = P(B) \) 입니다.

그런데 보기 ㄷ의 조건은 \( P(B|A) < P(B) \) 라고 말하고 있습니다. 이는 대전제인 '독립'과 모순되는 조건입니다.

전제 자체가 모순이므로, 이 명제는 논리적으로 참(vacuously true)이라고 볼 수도 있으나, 고등학교 과정에서는 ‘주어진 조건이 성립할 수 없다’고 해석하는 것이 일반적입니다. 따라서 ㄷ은 고려 대상이 아닙니다.

결론적으로, 주어진 ‘독립’이라는 전제 하에 항상 옳은 것은 ㄱ 뿐입니다.

정답: ①

8. 4개의 당첨 제비를 포함하여 10개의 제비가 들어 있는 상자에서 학생 A와 학생 B가 차례로 제비를 1개씩 임의로 뽑는다고 한다. 학생 A가 당첨 제비를 뽑을 확률을 P(A), 학생 B가 당첨 제비를 뽑을 확률을 P(B)라고 할 때, P(A)+P(B)의 값은? (단, 한 번 꺼낸 제비는 다시 넣지 않는다.) [4.5점]

  • ① \( \frac{16}{45} \)
  • ② \( \frac{8}{15} \)
  • ③ \( \frac{4}{5} \)
  • ④ \( \frac{38}{45} \)
  • ⑤ \( \frac{8}{9} \)

상세 풀이

총 10개의 제비 중 당첨 제비는 4개, 꽝 제비는 6개입니다.

1. P(A): 학생 A가 당첨될 확률

A는 10개의 제비 중 4개의 당첨 제비를 뽑으면 되므로,

\( P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)

2. P(B): 학생 B가 당첨될 확률

B가 당첨되는 경우는 A의 결과에 따라 두 가지로 나뉩니다.

  • 경우 1: A가 당첨되고 B도 당첨될 확률

    \( P(A \text{ 당첨}) \times P(B \text{ 당첨} | A \text{ 당첨}) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} \)

    (A가 당첨 제비를 뽑았으므로, 남은 9개 중 당첨 제비는 3개)
  • 경우 2: A가 꽝이고 B는 당첨될 확률

    \( P(A \text{ 꽝}) \times P(B \text{ 당첨} | A \text{ 꽝}) = \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90} \)

    (A가 꽝 제비를 뽑았으므로, 남은 9개 중 당첨 제비는 4개)

B가 당첨될 확률 P(B)는 이 두 경우의 확률을 더한 값입니다.

\( P(B) = \frac{12}{90} + \frac{24}{90} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5} \)

(참고: 순서에 상관없이 제비를 뽑을 때, 각 사람이 당첨될 확률은 모두 동일합니다.)

3. P(A) + P(B) 계산

\( P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5} \)

정답: ③

2024년 반송고 중간고사 기출 문제 풀이 [확률과 통계]

2024년 1학기 중간고사 기출 – 반송고 [확률과 통계]

문제 및 해설 (정답지 참조)

9. 빨간 공 4개, 노란 공 5개, 파란 공 1개가 들어 있는 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 적어도 2개가 노란 공일 확률은? [4.5점]반송고2-1-F[2024] 3.jpg]

  • ① \( \frac{47}{60} \)
  • ② \( \frac{5}{6} \)
  • ③ \( \frac{53}{60} \)
  • ④ \( \frac{14}{15} \)
  • ⑤ \( \frac{59}{60} \)

상세 풀이

전체 10개의 공(빨강 4, 노랑 5, 파랑 1) 중에서 3개를 동시에 꺼내는 모든 경우의 수는 다음과 같습니다.

\( C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \)가지

‘적어도 2개가 노란 공’인 경우는 다음 두 가지로 나눌 수 있습니다.반송고2-1-F[2024] 3.jpg]

경우 1: 노란 공 2개, 다른 색 공 1개를 꺼내는 경우

노란 공 5개 중 2개를 선택하고(\(C(5, 2)\)), 노란 공이 아닌 공 5개(빨강 4 + 파랑 1) 중 1개를 선택합니다(\(C(5, 1)\)).

\( C(5, 2) \times C(5, 1) = 10 \times 5 = 50 \)가지

경우 2: 노란 공 3개만 꺼내는 경우

노란 공 5개 중 3개를 선택합니다(\(C(5, 3)\)).

\( C(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \)가지

따라서, 적어도 2개가 노란 공일 경우의 수는 \( 50 + 10 = 60 \)가지입니다.

구하는 확률은 \( \frac{60}{120} = \frac{1}{2} \)입니다.

참고: 계산된 확률은 1/2 입니다. 정답지에서는 9) ③으로 표기되어 있으나, 주어진 보기에는 1/2이 없습니다. 문제 또는 보기에 오류가 있을 수 있습니다.

10. 여학생 3명과 남학생 4명이 일렬로 늘어선 7개의 좌석에 앉을 때, 적어도 한 쪽 끝에 남학생이 앉을 확률은? [4.5점]반송고2-1-F[2024] 3.jpg]

  • ① \( \frac{1}{2} \)
  • ② \( \frac{4}{7} \)
  • ③ \( \frac{9}{14} \)
  • ④ \( \frac{6}{7} \)
  • ⑤ \( \frac{11}{14} \)

상세 풀이

이 문제는 ‘적어도 한 쪽 끝에 남학생이 앉을 확률’을 묻고 있습니다. 이는 전체 확률 1에서 여사건인 ‘양쪽 끝에 모두 여학생이 앉을 확률’을 빼서 구하는 것이 더 효율적입니다.반송고2-1-F[2024] 3.jpg]

1. 전체 경우의 수: 7명이 일렬로 앉는 경우의 수는 \( 7! \)입니다.

2. 양쪽 끝에 모두 여학생이 앉는 경우의 수:

먼저 양쪽 끝 두 자리에 여학생 3명 중 2명을 뽑아 배열합니다: \( P(3, 2) = 3 \times 2 = 6 \)가지.

그 다음, 남은 5명(여학생 1명, 남학생 4명)을 가운데 5자리에 배열합니다: \( 5! \)가지.

따라서 양쪽 끝에 모두 여학생이 앉는 경우의 수는 \( 6 \times 5! \)입니다.

3. 양쪽 끝에 모두 여학생이 앉을 확률:

\( \frac{6 \times 5!}{7!} = \frac{6 \times 5!}{7 \times 6 \times 5!} = \frac{1}{7} \)

4. 적어도 한 쪽 끝에 남학생이 앉을 확률:

\( 1 – (\text{양쪽 끝 모두 여학생일 확률}) = 1 – \frac{1}{7} = \frac{6}{7} \)

참고: 정답지에는 10) ④로 표기되어 있으나, 계산된 값 \( \frac{6}{7} \)은 보기 ④에 해당합니다. 하지만 문제의 의도가 “적어도 한 쪽 끝에 **여학생**이 앉을 확률”이었다면 풀이는 다음과 같습니다: 여사건은 ‘양쪽 끝에 모두 남학생이 앉는 것’이며, 확률은 \( \frac{P(4,2) \times 5!}{7!} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \)가 됩니다. 이 경우 답은 \( 1 – \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)가 됩니다.

정답: ④반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

11. 1부터 9까지 자연수가 각각 적힌 9개의 공이 들어있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 4개의 공을 동시에 꺼낼 때, 공에 적힌 수를 크기가 작은 것부터 차례로 \(a, b, c, d\)라 하자. \(c=6\)일 확률은? [4.7점]반송고2-1-F[2024] 3.jpg]

  • ① \( \frac{5}{18} \)
  • ② \( \frac{1}{3} \)
  • ③ \( \frac{7}{18} \)
  • ④ \( \frac{5}{14} \)
  • ⑤ \( \frac{9}{14} \)

상세 풀이

전체 9개의 공 중에서 4개를 동시에 꺼내는 모든 경우의 수는 \( C(9, 4) \)입니다.

\( C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \)가지

선택된 4개의 수를 크기 순으로 \( a < b < c < d \)로 배열할 때, \( c=6 \)이 되는 경우를 찾아야 합니다.반송고2-1-F[2024] 3.jpg]

  • \(c\)는 6으로 고정됩니다.
  • \(a\)와 \(b\)는 6보다 작은 수인 {1, 2, 3, 4, 5} 중에서 2개를 선택해야 합니다: \( C(5, 2) = 10 \)가지.
  • \(d\)는 6보다 큰 수인 {7, 8, 9} 중에서 1개를 선택해야 합니다: \( C(3, 1) = 3 \)가지.

따라서, 조건에 맞는 경우의 수는 \( 10 \times 3 = 30 \)가지입니다.

구하는 확률은 \( \frac{30}{126} = \frac{5}{21} \)입니다.

참고: 계산 결과는 \( \frac{5}{21} \) 입니다. 하지만 정답지에는 11) ⑤로 표기되어 있고, 보기 ⑤는 \( \frac{9}{14} \)입니다. 계산 결과와 정답지 및 보기가 일치하지 않으므로, 문제, 보기, 또는 정답지에 오류가 있을 가능성이 높습니다.

정답(정답지 기준): ⑤반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

12. 어느 보석 감정 회사의 감정 의뢰가 들어오는 보석의 90%는 진품이고 10%는 가품이라고 한다. 이 회사의 보석 감별사가 진품을 가품으로 잘못 감별할 확률이 0.01, 가품을 진품으로 잘못 감별할 확률이 0.02라고 할 때, 이 감별사가 의뢰받은 보석을 정확하게 감별할 확률은? [4.9점]반송고2-1-F[2024] 3.jpg]

  • ① 0.788
  • ② 0.856
  • ③ 0.989
  • ④ 0.996
  • ⑤ 0.998

상세 풀이

‘정확하게 감별할 확률’은 (진품을 진품으로 감별할 확률)과 (가품을 가품으로 감별할 확률)의 합입니다.

주어진 정보를 정리해 보겠습니다.반송고2-1-F[2024] 3.jpg]

  • 보석이 진품일 확률: \( P(\text{진품}) = 0.9 \)
  • 보석이 가품일 확률: \( P(\text{가품}) = 0.1 \)
  • 진품을 가품으로 잘못 감별할 확률: \( P(\text{가품 판정}|\text{진품}) = 0.01 \)
  • 가품을 진품으로 잘못 감별할 확률: \( P(\text{진품 판정}|\text{가품}) = 0.02 \)

이를 통해 정확하게 감별할 조건부 확률을 구할 수 있습니다.

  • 진품을 진품으로 정확하게 감별할 확률: \( P(\text{진품 판정}|\text{진품}) = 1 – 0.01 = 0.99 \)
  • 가품을 가품으로 정확하게 감별할 확률: \( P(\text{가품 판정}|\text{가품}) = 1 – 0.02 = 0.98 \)

이제 두 가지 경우의 확률을 계산합니다.

1. 보석이 진품이고, 진품으로 정확히 감별할 확률:

\( P(\text{진품} \cap \text{진품 판정}) = P(\text{진품}) \times P(\text{진품 판정}|\text{진품}) = 0.9 \times 0.99 = 0.891 \)

2. 보석이 가품이고, 가품으로 정확히 감별할 확률:

\( P(\text{가품} \cap \text{가품 판정}) = P(\text{가품}) \times P(\text{가품 판정}|\text{가품}) = 0.1 \times 0.98 = 0.098 \)

따라서, 감별사가 보석을 정확하게 감별할 총 확률은 두 확률의 합입니다.

\( 0.891 + 0.098 = 0.989 \)

정답: ③반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

2024년 반송고 중간고사 기출 문제 풀이 [확률과 통계]

2024년 1학기 중간고사 기출 – 반송고 [확률과 통계]

문제 및 해설 (정답지 참조)

13. 학생 A와 학생 B가 보드게임을 하여 5번의 게임 중에서 3번을 먼저 이기는 사람이 승리하는 것으로 정하였다. 1번의 게임에서 학생 A가 학생 B를 이길 확률이 \( \frac{1}{3} \)일 때, 학생 A가 승리할 확률은? (단, 서로 비기는 경우는 없으며, 승자가 나오면 보드게임은 종료한다.) [4.9점]반송고2-1-F[2024] 4.jpg]

  • ① \( \frac{13}{81} \)
  • ② \( \frac{17}{81} \)
  • ③ \( \frac{11}{243} \)
  • ④ \( \frac{13}{243} \)
  • ⑤ \( \frac{17}{243} \)

상세 풀이

학생 A가 승리하는 경우는 3번째, 4번째, 또는 5번째 게임에서 결정될 수 있습니다. 각 경우의 확률을 계산하여 더합니다.

A가 이길 확률은 \(P(A) = \frac{1}{3}\) 이고, B가 이길 확률(A가 질 확률)은 \(P(B) = 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) 입니다.반송고2-1-F[2024] 4.jpg]

경우 1: A가 3번의 게임 만에 승리 (A-A-A)

A가 3연승을 해야 합니다.
확률: \( (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27} \)

경우 2: A가 4번의 게임 만에 승리

마지막 4번째 게임은 반드시 A가 이겨야 합니다. 따라서 첫 3번의 게임 중 A가 2번, B가 1번 이겨야 합니다.
확률: \( C(3, 2) \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^1 \times (\frac{1}{3}) = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{81} \)

경우 3: A가 5번의 게임 만에 승리

마지막 5번째 게임은 반드시 A가 이겨야 합니다. 따라서 첫 4번의 게임 중 A가 2번, B가 2번 이겨야 합니다.
확률: \( C(4, 2) \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3}) = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{24}{243} \)

A가 승리할 총 확률:

세 경우의 확률을 모두 더합니다. (통분: 243)

\( \frac{1}{27} + \frac{6}{81} + \frac{24}{243} = \frac{9}{243} + \frac{18}{243} + \frac{24}{243} = \frac{51}{243} \)

분자와 분모를 3으로 약분하면 \( \frac{17}{81} \) 입니다.

정답: ②반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

14. 6개의 문자 a, b, c, d, e, f를 모두 한 번씩 사용하여 임의로 나열할 때, a가 b보다 왼쪽에 있고 c가 b보다 오른쪽에 있을 확률은? [5.1점]반송고2-1-F[2024] 4.jpg]

  • ① \( \frac{2}{9} \)
  • ② \( \frac{7}{10} \)
  • ③ \( \frac{11}{15} \)
  • ④ \( \frac{23}{30} \)
  • ⑤ \( \frac{4}{5} \)

상세 풀이

전체 6개의 문자를 나열하는 경우의 수는 \( 6! = 720 \)가지입니다.반송고2-1-F[2024] 4.jpg]

조건은 ‘a가 b보다 왼쪽에 있고, c가 b보다 오른쪽에 있는 것’입니다. 이는 세 문자의 상대적인 순서가 ‘a … b … c’로 고정됨을 의미합니다.

이 문제는 순서가 정해진 순열 문제로, a, b, c를 모두 같은 문자(예: X)로 취급하여 해결할 수 있습니다.

즉, X, X, X, d, e, f 를 나열하는 경우의 수를 구하는 것과 같습니다.
경우의 수 = \( \frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120 \)가지

이렇게 나열된 120가지 경우에서, 3개의 X 자리에 순서대로 a, b, c를 넣는 방법은 단 한 가지뿐입니다. 따라서 조건에 맞는 경우의 수는 120가지입니다.

확률 계산:

\( \frac{\text{조건에 맞는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6} \)

참고: 계산 결과는 \( \frac{1}{6} \) 입니다. 하지만 정답지에는 14) ①로 표기되어 있고, 보기 ①은 \( \frac{2}{9} \)입니다. 계산 결과와 정답지 및 보기가 일치하지 않으므로, 문제, 보기, 또는 정답지에 오류가 있을 가능성이 있습니다.

정답(정답지 기준): ①반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

대진표

15. 탁구 시합에서 학생 A가 학생 B를 이길 확률은 \( \frac{5}{6} \), 학생 B가 학생 C를 이길 확률은 \( \frac{2}{3} \), 학생 C가 학생 A를 이길 확률은 \( \frac{1}{9} \)이다. 다음 대진표와 같이 승자 진출 방식으로 탁구 시합을 할 때, 학생 A가 우승할 확률은? (단, A, B, C가 각각 대진표의 세 자리에 배정될 확률은 같고, 비기는 경우는 없다.) [5.1점]반송고2-1-F[2024] 4.jpg]

  • ① \( \frac{5}{72} \)
  • ② \( \frac{7}{72} \)
  • ③ \( \frac{1}{9} \)
  • ④ \( \frac{1}{6} \)
  • ⑤ \( \frac{37}{216} \)

상세 풀이

먼저 각 경기에서 승리할 확률을 정리합니다.반송고2-1-F[2024] 4.jpg]
\( P(A>B) = \frac{5}{6} \implies P(B>A) = 1 – \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \)
\( P(B>C) = \frac{2}{3} \implies P(C>B) = 1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)
\( P(C>A) = \frac{1}{9} \implies P(A>C) = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

A, B, C가 대진표의 세 자리에 배정되는 경우는 3가지 시나리오가 있으며, 각 시나리오의 확률은 \( \frac{1}{3} \)입니다.

시나리오 1: A가 부전승으로 결승에 진출 (확률 \( \frac{1}{3} \))

B와 C가 먼저 경기하고, 그 승자와 A가 결승전을 치릅니다. A가 우승하려면 결승에서 이겨야 합니다.
– B가 C를 이기고(\(P=\frac{2}{3}\)), A가 B를 이길(\(P=\frac{5}{6}\)) 확률: \( \frac{2}{3} \times \frac{5}{6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \)
– C가 B를 이기고(\(P=\frac{1}{3}\)), A가 C를 이길(\(P=\frac{8}{9}\)) 확률: \( \frac{1}{3} \times \frac{8}{9} = \frac{8}{27} \)
A가 우승할 조건부 확률: \( \frac{5}{9} + \frac{8}{27} = \frac{15}{27} + \frac{8}{27} = \frac{23}{27} \)

시나리오 2: B가 부전승 (확률 \( \frac{1}{3} \))

A와 C가 먼저 경기하고, A가 이겨야 합니다. 그 후 부전승으로 올라온 B와 결승에서 다시 A가 이겨야 합니다.
A가 우승할 조건부 확률: \( P(A>C) \times P(A>B) = \frac{8}{9} \times \frac{5}{6} = \frac{40}{54} = \frac{20}{27} \)

시나리오 3: C가 부전승 (확률 \( \frac{1}{3} \))

A와 B가 먼저 경기하고, A가 이겨야 합니다. 그 후 부전승으로 올라온 C와 결승에서 다시 A가 이겨야 합니다.
A가 우승할 조건부 확률: \( P(A>B) \times P(A>C) = \frac{5}{6} \times \frac{8}{9} = \frac{40}{54} = \frac{20}{27} \)

A가 우승할 총 확률:

각 시나리오의 확률을 더합니다.
\( P(\text{A 우승}) = \frac{1}{3} \times (\frac{23}{27}) + \frac{1}{3} \times (\frac{20}{27}) + \frac{1}{3} \times (\frac{20}{27}) \)

\( = \frac{1}{3} \times (\frac{23+20+20}{27}) = \frac{1}{3} \times \frac{63}{27} = \frac{1}{3} \times \frac{7}{3} = \frac{7}{9} \)

참고: 계산 결과는 \( \frac{7}{9} \) 입니다. 하지만 정답지에는 15) ⑤로 표기되어 있고, 보기 ⑤는 \( \frac{37}{216} \)입니다. 계산 결과와 정답지 및 보기가 일치하지 않으므로, 문제, 보기, 또는 정답지에 오류가 있을 가능성이 높습니다.

정답(정답지 기준): ⑤반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

2024년 반송고 중간고사 기출 문제 풀이 [확률과 통계]

2024년 1학기 중간고사 기출 – 반송고 [확률과 통계]

문제 및 해설 (정답지 참조)

16. 두 집합 \( X=\{a, b, c, d\} \), \( Y=\{1, 2, 3\} \)에 대하여 \(X\)에서 \(Y\)로의 함수 \(f\)를 만들 때, 이 함수가 \( f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=8 \)을 만족시킬 확률을 \( \frac{p}{q} \)라 하자. 이때 \( p+q \)의 값은? (단, \(p, q\)는 서로소인 자연수이다.) [5.1점]반송고2-1-F[2024] 5.jpg]

  • ① 98
  • ② 100
  • ③ 102
  • ④ 104
  • ⑤ 106

상세 풀이

1. 전체 경우의 수 구하기

집합 X의 원소 4개 각각이 집합 Y의 원소 3개 중 하나를 함숫값으로 가질 수 있습니다. 따라서 만들 수 있는 모든 함수의 개수는 중복순열을 이용하여 계산합니다.반송고2-1-F[2024] 5.jpg]

전체 경우의 수 = \( 3^4 = 81 \)가지

2. 조건을 만족하는 경우의 수 구하기

함숫값의 합이 8이 되는 경우를 찾습니다. \( f(a), f(b), f(c), f(d) \)는 각각 1, 2, 3 중 하나의 값을 가집니다. 합이 8이 되는 조합은 다음과 같습니다.반송고2-1-F[2024] 5.jpg]

  • 조합 1: {3, 3, 1, 1}
    4개의 함숫값을 {a, b, c, d}에 배정하는 경우의 수 (같은 것이 있는 순열):
    \( \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6 \)가지
  • 조합 2: {3, 2, 2, 1}
    4개의 함숫값을 {a, b, c, d}에 배정하는 경우의 수:
    \( \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12 \)가지
  • 조합 3: {2, 2, 2, 2}
    모든 함숫값이 2인 경우:
    1가지

조건을 만족하는 모든 경우의 수는 \( 6 + 12 + 1 = 19 \)가지입니다.

3. 확률 및 p+q 계산

확률 \( \frac{p}{q} = \frac{19}{81} \). 여기서 19와 81은 서로소이므로 \( p=19, q=81 \)입니다.반송고2-1-F[2024] 5.jpg]

\( p+q = 19 + 81 = 100 \)

정답: ②반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

정육각형 경로

17. 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정육각형 ABCDEF의 점 A에서 출발하여 변을 따라 움직이는 점 P가 있다. 점 P는 동전 1개를 던져서 앞면이 나오면 시계 반대 방향으로 2만큼, 뒷면이 나오면 시계 방향으로 1만큼 움직인다. 동전 1개를 5번 던져 점 P가 점 E에 도착할 확률은? [5.3점]반송고2-1-F[2024] 5.jpg]

  • ① \( \frac{3}{8} \)
  • ② \( \frac{7}{16} \)
  • ③ \( \frac{1}{2} \)
  • ④ \( \frac{9}{16} \)
  • ⑤ \( \frac{5}{8} \)

상세 풀이

꼭짓점을 A=0, B=1, C=2, D=3, E=4, F=5로 번호를 매깁니다. 시계 반대 방향을 (+), 시계 방향을 (-)로 설정합니다.반송고2-1-F[2024] 5.jpg]

동전을 5번 던져 앞면이 나온 횟수를 H, 뒷면이 나온 횟수를 T라 하면, \( H+T=5 \)입니다.반송고2-1-F[2024] 5.jpg]

점 P의 최종 위치는 시작점 A(0)에서 \( (+2) \times H + (-1) \times T \)만큼 이동한 위치입니다. 최종 위치 E는 4이므로, 다음 식이 성립해야 합니다.

\( (2H – T) \pmod{6} = 4 \)

\( T = 5 – H \)를 대입하면, \( 2H – (5 – H) = 3H – 5 \). 따라서 \( (3H – 5) \pmod{6} = 4 \)를 만족하는 H를 찾습니다.

  • H=0: \( -5 \equiv 1 \pmod{6} \)
  • H=1: \( -2 \equiv 4 \pmod{6} \) (조건 만족)
  • H=2: \( 1 \equiv 1 \pmod{6} \)
  • H=3: \( 4 \equiv 4 \pmod{6} \) (조건 만족)
  • H=4: \( 7 \equiv 1 \pmod{6} \)
  • H=5: \( 10 \equiv 4 \pmod{6} \) (조건 만족)

따라서, 점 P가 E에 도착하는 경우는 (앞면 1, 뒷면 4), (앞면 3, 뒷면 2), (앞면 5, 뒷면 0)의 세 가지입니다.

각 경우의 확률 (독립시행의 확률):

1. 앞면 1회, 뒷면 4회: \( C(5, 1) \times (\frac{1}{2})^1 \times (\frac{1}{2})^4 = 5 \times \frac{1}{32} = \frac{5}{32} \)

2. 앞면 3회, 뒷면 2회: \( C(5, 3) \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^2 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} \)

3. 앞면 5회, 뒷면 0회: \( C(5, 5) \times (\frac{1}{2})^5 \times (\frac{1}{2})^0 = 1 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{32} \)

총 확률:

세 경우의 확률을 모두 더합니다: \( \frac{5}{32} + \frac{10}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \)

정답: ③반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

18. 주머니에 숫자 1, 2, 3, 4가 하나씩 적혀있는 흰 공 4개와 1, 2, 4가 하나씩 적혀있는 검은 공 3개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적힌 숫자를 확인하는 시행을 두 번 한다. 첫 번째 꺼낸 공에 적힌 수를 \(a\), 두 번째 꺼낸 공에 적힌 수를 \(b\)라 하자. \(a+b\)의 값이 3의 배수일 때, 2개의 공의 색이 다를 확률은? [5.3점]반송고2-1-F[2024] 5.jpg]

  • ① \( \frac{4}{15} \)
  • ② \( \frac{7}{15} \)
  • ③ \( \frac{8}{15} \)
  • ④ \( \frac{7}{17} \)
  • ⑤ \( \frac{8}{17} \)

상세 풀이

문제 분석: 문제의 조건에 “확인한 후 주머니에 다시 넣고, 공을 꺼낼 경우 다시 넣지 않는다.”라는 모순되는 문장이 있습니다. 이는 ‘복원추출’ 또는 ‘비복원추출’인지 명확하지 않게 만듭니다. 여기서는 정답지와의 일관성을 위해 ‘복원추출’로 가정하고 풀이합니다.

이 문제는 조건부 확률 문제입니다. \(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\) 공식을 사용합니다.

  • 사건 A: \(a+b\)가 3의 배수인 사건
  • 사건 B: 두 공의 색이 다른 사건

우리가 구해야 할 확률은 \(P(\text{색 다름} | a+b\text{는 3의 배수})\) 입니다.

1. \(P(a+b\text{는 3의 배수})\) 계산

전체 공 7개는 숫자를 3으로 나눈 나머지에 따라 다음과 같이 분류할 수 있습니다.
– 나머지 1: {1(흰), 4(흰), 1(검), 4(검)} – 4개
– 나머지 2: {2(흰), 2(검)} – 2개
– 나머지 0: {3(흰)} – 1개

두 수의 합이 3의 배수가 되는 경우는 (나머지1 + 나머지2) 또는 (나머지0 + 나머지0) 입니다. (복원추출)

– (나머지1, 나머지2) 순서로 뽑을 확률: \( \frac{4}{7} \times \frac{2}{7} = \frac{8}{49} \)
– (나머지2, 나머지1) 순서로 뽑을 확률: \( \frac{2}{7} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{49} \)
– (나머지0, 나머지0) 순서로 뽑을 확률: \( \frac{1}{7} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{49} \)

\( P(A) = \frac{8}{49} + \frac{8}{49} + \frac{1}{49} = \frac{17}{49} \)

2. \(P(a+b\text{는 3의 배수} \cap \text{색 다름})\) 계산

색이 다르면서 합이 3의 배수인 경우를 찾습니다.

경우 1: (흰, 검) 순서 & 합이 3의 배수
a(흰), b(검)의 쌍: {1,2}, {2,1}, {2,4}, {4,2} – 4가지
확률: \( \frac{4}{7} \times \frac{3}{7} \) 중 위 4가지 경우이므로 \( \frac{4}{49} \)

경우 2: (검, 흰) 순서 & 합이 3의 배수
a(검), b(흰)의 쌍: {1,2}, {2,1}, {2,4}, {4,2} – 4가지
확률: \( \frac{3}{7} \times \frac{4}{7} \) 중 위 4가지 경우이므로 \( \frac{4}{49} \)

\( P(A \cap B) = \frac{4}{49} + \frac{4}{49} = \frac{8}{49} \)

3. 조건부 확률 계산

\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{8/49}{17/49} = \frac{8}{17} \)

정답: ⑤반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

2024년 반송고 중간고사 기출 문제 풀이 [확률과 통계]

2024년 1학기 중간고사 기출 – 반송고 [확률과 통계]

문제 및 해설 (정답지 참조)

19. 같은 종류의 펜 17개를 4명의 학생 A, B, C, D에게 적어도 한 개씩 나누어 주려고 한다. 각 학생이 받은 펜의 개수가 2개 이상 5개 이하일 확률을 \( \frac{p}{q} \)라 할 때, \( p+q \)의 값은? (단, 펜은 서로 구별하지 않고, p, q는 서로소인 자연수이다.) [5.3점]반송고2-1-F[2024] 6.jpg]

  • ① 27
  • ② 29
  • ③ 31
  • ④ 33
  • ⑤ 35

상세 풀이

1. 전체 경우의 수 구하기

펜 17개를 4명의 학생에게 ‘적어도 한 개씩’ 나누어 주는 경우의 수입니다.반송고2-1-F[2024] 6.jpg] 먼저 1개씩 나누어주고 남은 13개를 4명에게 자유롭게 나누어주는 것과 같습니다. 이는 중복조합 문제입니다.

전체 경우의 수 = \( H(4, 13) = C(4+13-1, 13) = C(16, 13) = C(16, 3) = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560 \)가지

2. 조건을 만족하는 경우의 수 구하기

각 학생이 ‘2개 이상 5개 이하’의 펜을 받는 경우의 수입니다.반송고2-1-F[2024] 6.jpg] 먼저 2개씩 나누어주고 남은 9개(\(17 – 4 \times 2\))를 4명에게 나누어 주되, 한 학생이 4개 이상 받지 않도록(\(5-2=3\)개 초과) 해야 합니다. 방정식으로 표현하면 다음과 같습니다.

\( a+b+c+d = 9 \) (단, \( 0 \le a,b,c,d \le 3 \))

이는 포함-배제의 원리를 이용하여 구합니다.

A. 상한선이 없을 때의 총 경우의 수: \( H(4, 9) = C(12, 9) = C(12, 3) = 220 \)

B. 한 학생이라도 4개 이상 받는 경우: 한 학생에게 4개를 미리 주고 남은 5개를 자유롭게 배분합니다. \( C(4, 1) \times H(4, 5) = 4 \times C(8, 5) = 4 \times 56 = 224 \)

C. 두 학생이 4개 이상 받는 경우: 두 학생에게 4개씩 미리 주고 남은 1개를 자유롭게 배분합니다. \( C(4, 2) \times H(4, 1) = 6 \times C(4, 1) = 6 \times 4 = 24 \)

D. 세 학생이 4개 이상 받는 경우는 9개를 초과하므로 불가능합니다.

조건을 만족하는 경우의 수 = (A) – (B) + (C) = \( 220 – 224 + 24 = 20 \)가지

3. 확률 및 p+q 계산

확률 \( \frac{p}{q} = \frac{20}{560} = \frac{1}{28} \). 여기서 \( p=1, q=28 \)이므로,반송고2-1-F[2024] 6.jpg]

\( p+q = 1 + 28 = 29 \)

정답: ②반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

20. 한 개의 주사위를 6번 던져 n번째(\(1 \le n \le 6\)) 나오는 눈의 수를 \(a_n\)이라 할 때, \(a_n \le 2k-1\)을 만족시키는 자연수 k(\(1 \le k \le 6\))를 원소로 갖는 집합을 S라 하자. 집합 S에 속한 원소 중 가장 작은 값이 2일 때, \(a_1+a_5+a_6=10\)일 확률은? [5.5점]반송고2-1-F[2024] 6.jpg]

  • ① \( \frac{1}{4} \)
  • ② \( \frac{5}{16} \)
  • ③ \( \frac{3}{8} \)
  • ④ \( \frac{1}{2} \)
  • ⑤ \( \frac{9}{16} \)
문제 분석: 이 문제는 조건의 의미가 매우 모호하여 해석에 어려움이 있습니다. 문제의 의도를 추정하여 풀이하였으나, 실제 출제 의도와 다를 수 있으며 문제 자체에 오류가 있을 가능성이 있습니다.

상세 풀이 (해석 기반)

1. 조건 해석: “집합 S에 속한 원소 중 가장 작은 값이 2”

집합 S는 \(a_n \le 2k-1\)을 만족하는 k들의 집합입니다.반송고2-1-F[2024] 6.jpg] S의 가장 작은 원소가 2라는 것은, k=1은 S의 원소가 아니고 k=2는 S의 원소여야 함을 의미합니다.

  • k=1이 S의 원소가 아님: 모든 n에 대해 \(a_n > 2(1)-1 = 1\) 이어야 합니다. 즉, 주사위를 6번 던져 나온 모든 눈의 수 \(a_n\)는 1이 아니어야 합니다.
  • k=2가 S의 원소임: 어떤 n에 대해 \(a_n \le 2(2)-1 = 3\) 이어야 합니다. 즉, 6번의 주사위 눈 중 적어도 하나는 2 또는 3이어야 합니다.

정리하면, 조건은 “6개의 주사위 눈이 모두 {2, 3, 4, 5, 6} 중에서 나오고, 그 중 적어도 하나는 {2, 3} 중 하나”를 의미합니다.

2. 조건부 확률 문제

구하는 확률은 \(P(a_1+a_5+a_6=10 | \text{조건})\) 입니다. 이 조건은 매우 복잡하여 고등학교 과정의 일반적인 풀이를 벗어날 가능성이 큽니다. 문제에 오류가 있을 가능성을 고려하여 다른 해석을 시도하거나, 문제의 핵심을 단순화할 필요가 있습니다.

만약 문제가 “주사위를 3번 던져(a1, a5, a6) 합이 10일 확률”과 같이 단순한 문제였다면, 경우의 수는 27가지이고 전체는 \(6^3=216\)가지이므로 확률은 \(27/216 = 1/8\)이 됩니다. 그러나 주어진 복잡한 조건은 이 풀이를 허용하지 않습니다.

결론: 문제의 조건이 지나치게 복잡하고 모호하여 명확한 풀이를 제공하기 어렵습니다. 정답지에는 로 표기되어 있으나, 해당 답을 도출하는 합리적인 풀이 과정을 찾기 힘듭니다.반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

정답(정답지 기준): ④반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

21. 부등식 \( a+b+c+d \le 8 \)을 만족시키는 양의 정수 \( a, b, c, d \)의 모든 순서쌍 중에서 임의로 한 개를 선택할 때, 선택한 순서쌍 \( (a,b,c,d) \)가 \( (a-b)(c-d)=0 \)을 만족시킬 확률을 \( \frac{p}{q} \)라 하자. 이때 \( p+q \)의 값은? (단, p, q는 서로소인 자연수이다.) [5.7점]반송고2-1-F[2024] 6.jpg]

  • ① 46
  • ② 48
  • ③ 50
  • ④ 52
  • ⑤ 54

상세 풀이

1. 전체 경우의 수 구하기

양의 정수 \(a, b, c, d\)가 \(a+b+c+d \le 8\)을 만족하는 경우의 수입니다.반송고2-1-F[2024] 6.jpg] 0 이상의 정수 e(나머지 변수)를 도입하여 \(a+b+c+d+e=8\) (단, \(a,b,c,d \ge 1, e \ge 0\))로 바꿀 수 있습니다. \(a=a’+1, b=b’+1, \dots\) 치환을 이용하면 \(a’+b’+c’+d’+e=4\) (\(a’,b’,c’,d’,e \ge 0\))가 됩니다.

전체 경우의 수 = \( H(5, 4) = C(5+4-1, 4) = C(8, 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \)가지

2. 조건을 만족하는 경우의 수 구하기

조건은 \( (a-b)(c-d)=0 \) 이므로, \(a=b\) 또는 \(c=d\) 입니다. 포함-배제의 원리를 이용합니다: \( N(a=b) + N(c=d) – N(a=b \text{ 이고 } c=d) \).반송고2-1-F[2024] 6.jpg]

A. \(a=b\)인 경우: \(2a+c+d \le 8\). 양의 정수 해의 개수를 구합니다.
– a=1: \(c+d \le 6\). \(H(3,4)=C(6,4)=15\)가지
– a=2: \(c+d \le 4\). \(H(3,2)=C(4,2)=6\)가지
– a=3: \(c+d \le 2\). (1,1) 1가지
\(N(a=b) = 15+6+1 = 22\)가지

B. \(c=d\)인 경우: 대칭이므로 \(N(c=d) = 22\)가지

C. \(a=b\)이고 \(c=d\)인 경우: \(2a+2c \le 8 \implies a+c \le 4\). 양의 정수 해의 개수를 구합니다.
– a=1: \(c \le 3 \implies c=1,2,3\) (3가지)
– a=2: \(c \le 2 \implies c=1,2\) (2가지)
– a=3: \(c \le 1 \implies c=1\) (1가지)
\(N(a=b, c=d) = 3+2+1=6\)가지

조건을 만족하는 총 경우의 수 = \( 22 + 22 – 6 = 38 \)가지

3. 확률 및 p+q 계산

확률 \( \frac{p}{q} = \frac{38}{70} = \frac{19}{35} \). 여기서 \( p=19, q=35 \)이므로,반송고2-1-F[2024] 6.jpg]

\( p+q = 19 + 35 = 54 \)

정답: ⑤반송고2-1-F[2024] 7.jpeg]

8번 문제 풀이

확률 문제 풀이

10개의 제비 중 4개의 당첨 제비가 들어있는 상자에서 A와 B가 차례로 제비를 하나씩 비복원추출(다시 넣지 않음)할 때, A가 당첨될 확률 P(A)와 B가 당첨될 확률 P(B)의 합을 구하는 문제입니다.

1. A가 당첨될 확률 P(A) 계산

학생 A는 10개의 제비 중에서 4개의 당첨 제비를 뽑으면 되므로, A가 당첨될 확률은 다음과 같습니다.
\( P(A) = \frac{\text{당첨 제비의 수}}{\text{전체 제비의 수}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)

2. B가 당첨될 확률 P(B) 계산

학생 B가 당첨되는 경우는 학생 A의 결과에 따라 두 가지로 나누어 계산해야 합니다.

  • 경우 1: A가 당첨되고 B도 당첨될 확률
    A가 당첨될 확률은 \( \frac{4}{10} \) 입니다. A가 당첨 제비를 뽑은 후에는 9개의 제비 중 3개의 당첨 제비가 남습니다. 따라서 이어서 B가 당첨될 확률은 \( \frac{3}{9} \) 입니다.
    이 경우의 확률은 \( \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} \) 입니다.
  • 경우 2: A가 당첨되지 않고 B는 당첨될 확률
    A가 당첨되지 않을 확률은 \( \frac{6}{10} \) 입니다. A가 당첨되지 않은 제비를 뽑은 후에는 9개의 제비 중 4개의 당첨 제비가 그대로 남아있습니다. 따라서 이어서 B가 당첨될 확률은 \( \frac{4}{9} \) 입니다.
    이 경우의 확률은 \( \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{90} \) 입니다.

학생 B가 당첨될 총 확률 P(B)는 이 두 경우의 확률을 더한 값입니다.
\( P(B) = \frac{12}{90} + \frac{24}{90} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5} \)

3. P(A) + P(B) 최종 계산

이제 두 확률을 더합니다.
\( P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5} \)

최종 정답은 \( \frac{4}{5} \)이며, 이는 보기 ③번과 일치합니다.
9번 문제 풀이 (여사건 활용)

확률 문제 풀이

주머니 속에 빨간 공 4개, 노란 공 5개, 파란 공 1개가 들어있습니다. 이 중에서 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, ‘적어도 2가지 색’의 공이 나올 확률을 구하는 문제입니다.

풀이 전략: 여사건 활용
‘적어도 2가지 색’이 나올 확률을 직접 구하는 것은 복잡합니다. 대신 전체 확률 1에서 반대되는 경우, 즉 ‘오직 1가지 색’만 나올 확률을 빼서 계산하는 것이 더 효율적입니다.

1. 전체 경우의 수 계산

총 10개의 공(빨강 4 + 노랑 5 + 파랑 1) 중에서 3개를 순서에 상관없이 꺼내는 모든 경우의 수를 계산합니다.
전체 경우의 수 = \( C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \) 가지

2. 여사건(오직 1가지 색만 나올) 경우의 수 계산

3개의 공이 모두 같은 색인 경우를 각각 구합니다.

  • 모두 빨간 공일 경우: 빨간 공 4개 중에서 3개를 꺼내는 경우입니다.
    \( C(4, 3) = 4 \) 가지
  • 모두 노란 공일 경우: 노란 공 5개 중에서 3개를 꺼내는 경우입니다.
    \( C(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \) 가지
  • 모두 파란 공일 경우: 파란 공은 1개밖에 없으므로 3개를 꺼내는 것은 불가능합니다.
    \( 0 \) 가지

따라서 3개의 공이 모두 같은 색일 경우의 수는 \( 4 + 10 + 0 = 14 \) 가지입니다.

3. 여사건의 확률 계산

오직 1가지 색만 나올 확률은 다음과 같습니다.
\( P(\text{1가지 색}) = \frac{\text{여사건 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{14}{120} = \frac{7}{60} \)

4. 최종 확률 계산

구하고자 하는 ‘적어도 2가지 색의 공이 나올 확률’은 전체 확률 1에서 여사건의 확률을 뺀 값입니다.
\( P(\text{적어도 2가지 색}) = 1 – P(\text{1가지 색}) = 1 – \frac{7}{60} = \frac{53}{60} \)

최종 정답은 \( \frac{53}{60} \)이며, 이는 보기 ③번과 일치합니다.

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