다항식의 덧셈과 뺄셈, 이것만 알면 문제 해결! ➕➖
안녕하세요, 수학 실력쑥쑥 친구들! 👋 다항식의 용어들과 친해지고, 내림차순/오름차순으로 정리하는 방법까지 익혔다면 이제 다항식끼리 더하고 빼는 계산을 배울 차례예요. 다항식의 덧셈과 뺄셈은 생각보다 어렵지 않아요. 몇 가지 규칙만 잘 기억하면 마치 숫자 계산처럼 술술 풀 수 있답니다. 함께 그 비밀을 파헤쳐 볼까요? 😉
📝 핵심만정리: 덧셈과 뺄셈, 이렇게 해요!
다항식의 덧셈과 뺄셈은 다음 세 단계를 기억하면 쉬워요:
- 괄호 풀기: 덧셈은 그대로, 뺄셈은 빼는 식 각 항의 부호를 바꿔서 괄호를 풀어요.
- (선택) 내림차순 정리: 한 문자에 대해 차수가 높은 항부터 낮은 항 순으로 정리하면 동류항을 찾기 쉬워요.
- 동류항끼리 계산: 문자와 차수가 같은 항끼리 모아서 계수들을 더하거나 빼요.
가장 중요한 것은 동류항을 정확히 찾고, 뺄셈일 때 부호 변경을 잊지 않는 것이랍니다!
곱셈 맛보기: 다항식과 수의 곱 (kA)
개념정리 3-1: 다항식에 숫자 곱하기
다항식 전체에 어떤 수를 곱하는 것은 분배법칙을 이용해서 다항식의 각각의 항에 그 수를 곱해주는 것과 같아요. 이것은 앞으로 배울 다항식 곱셈의 가장 기본적인 형태랍니다.
예를 들어, 다항식 A = x2 – 3x + 2 가 있을 때,
1. 2A 계산하기:
2A = 2 \times (x2 – 3x + 2)
= (2 \times x2) + (2 \times (-3x)) + (2 \times 2)
= 2x2 – 6x + 4
2. -3A 계산하기:
-3A = -3 \times (x2 – 3x + 2)
= (-3 \times x2) + (-3 \times (-3x)) + (-3 \times 2)
= -3x2 + 9x – 6
각 항에 빠짐없이 곱해주는 것이 중요해요!
➕ 다항식의 덧셈: 동류항끼리 합체!
개념정리 3-2: 다항식 더하는 방법
두 개 이상의 다항식을 더할 때는 간단해요. 괄호가 있다면 괄호를 풀고, 같은 종류의 항(동류항)끼리 모아서 계수들을 더해주면 끝! 마치 사과끼리, 바나나끼리 모아서 개수를 세는 것과 같아요.
[덧셈 단계]
- 괄호가 있으면 괄호를 푼다. (덧셈에서는 괄호 안의 부호가 그대로 유지돼요.)
- 동류항끼리 모은다. (이때 한 문자에 대해 내림차순으로 정리하면 편해요.)
- 동류항의 계수끼리 더한다.
두 다항식 A = 2x2 – 5x + 3 이고 B = x2 + 2x – 1 일 때, A + B를 계산해 봅시다.
A + B = (2x2 – 5x + 3) + (x2 + 2x – 1)
1. 괄호 풀기: = 2x2 – 5x + 3 + x2 + 2x – 1
2. 동류항 모으기 (x에 대한 내림차순): = (2x2 + x2) + (-5x + 2x) + (3 – 1)
3. 동류항 계산: = 3x2 – 3x + 2
➖ 다항식의 뺄셈: 부호 바꾸고 더하기!
개념정리 3-3: 다항식 빼는 방법
다항식의 뺄셈은 한 가지만 기억하면 덧셈처럼 할 수 있어요. 바로 빼는 다항식의 각 항의 부호를 모두 반대로 바꾸어서 더하는 것이랍니다! 즉, A – B는 A + (-B)와 같아요.
[뺄셈 단계]
- 괄호 풀기: 빼는 다항식의 괄호 앞 마이너스(-) 부호를 괄호 안의 모든 항에 분배하여 각 항의 부호를 반대로 바꿔줘요.
- 동류항끼리 모은다.
- 동류항의 계수끼리 계산한다.
두 다항식 A = 2x2 – 5x + 3 이고 B = x2 + 2x – 1 일 때, A – B를 계산해 봅시다.
A – B = (2x2 – 5x + 3) – (x2 + 2x – 1)
1. 괄호 풀기 (빼는 식 B의 각 항 부호 변경!): = 2x2 – 5x + 3 – x2 – 2x + 1
2. 동류항 모으기 (x에 대한 내림차순): = (2x2 – x2) + (-5x – 2x) + (3 + 1)
3. 동류항 계산: = x2 – 7x + 4
실수 줄이는 꿀팁! 세로셈 활용하기 📝
덧셈과 마찬가지로 뺄셈도 동류항끼리 자리를 맞추어 세로로 계산할 수 있어요. 이때 빼는 식의 각 항의 부호를 미리 바꾸어 놓고 더하면 실수를 줄일 수 있답니다.
예) (3a + 2b) – (a – 4b)
3a + 2b
- ( a - 4b) -> 부호 변경: -a + 4b
-----------------------------
3a + 2b
+ -a + 4b
----------
2a + 6b
🧐 개념확인 문제: 직접 계산해봐요!
이제 배운 내용을 바탕으로 다항식의 덧셈과 뺄셈 문제를 풀어봅시다. 부호에 주의하며 차근차근 계산해보세요!
두 다항식 P = a2 – 3ab + 2b2 이고 Q = 2a2 + ab – b2 일 때, 다음 식을 계산하시오.
- P + Q
- P – Q
- -P + 2Q
정답 및 해설:
-
P + Q = (a2 – 3ab + 2b2) + (2a2 + ab – b2)
= a2 – 3ab + 2b2 + 2a2 + ab – b2
= (a2 + 2a2) + (-3ab + ab) + (2b2 – b2)
= 3a2 – 2ab + b2
-
P – Q = (a2 – 3ab + 2b2) – (2a2 + ab – b2)
= a2 – 3ab + 2b2 – 2a2 – ab + b2
= (a2 – 2a2) + (-3ab – ab) + (2b2 + b2)
= -a2 – 4ab + 3b2
-
-P + 2Q
먼저 -P와 2Q를 각각 계산해요.
-P = -(a2 – 3ab + 2b2) = -a2 + 3ab – 2b2
2Q = 2(2a2 + ab – b2) = 4a2 + 2ab – 2b2
이제 두 결과를 더해요:
(-a2 + 3ab – 2b2) + (4a2 + 2ab – 2b2)
= (-a2 + 4a2) + (3ab + 2ab) + (-2b2 – 2b2)
= 3a2 + 5ab – 4b2
어때요? 차근차근 단계를 밟아가니 어렵지 않죠? 다항식 계산은 연습할수록 더 정확하고 빨라진답니다. 꾸준히 연습하는 것이 중요해요! 💪
오늘은 다항식의 덧셈과 뺄셈에 대해 알아보았어요. 괄호를 풀고, 동류항끼리 모아서 계산하는 것이 핵심이었죠? 특히 뺄셈에서는 부호를 바꾸는 것을 잊지 않는 것이 중요해요. 이 기본 계산을 잘 익혀두면 앞으로 더 복잡한 다항식 계산도 자신 있게 해낼 수 있을 거예요! 다음 시간에는 또 다른 재미있는 수학 이야기로 만나요! 안녕! 👋