다항식을 깔끔하게! 내림차순과 오름차순 완벽 정리 🧹✨
안녕하세요, 수학을 사랑하는 친구들! 👋 다항식의 여러 항들이 뒤죽박죽 섞여 있으면 한눈에 알아보기도 어렵고, 계산할 때 실수하기도 쉽겠죠? 그래서 오늘은 다항식을 특정 기준에 따라 가지런히 정리하는 두 가지 방법, 바로 내림차순과 오름차순에 대해 배울 거예요. 마치 방 청소를 하듯 다항식을 깔끔하게 정리하면 수학 공부가 훨씬 즐거워질 거예요! 😊
📝 핵심만정리: 다항식 정리, 이것만 기억하세요!
다항식을 정리한다는 것은 특정 문자를 기준으로 그 문자의 차수에 따라 항의 순서를 배열하는 것을 말해요.
- 내림차순 (Descending order): 기준 문자의 차수가 높은 것부터 낮은 것 순서로 항을 나열하는 방법이에요. (예: x3 항 ➔ x2 항 ➔ x 항 ➔ 상수항)
- 오름차순 (Ascending order): 기준 문자의 차수가 낮은 것부터 높은 것 순서로 항을 나열하는 방법이에요. (예: 상수항 ➔ x 항 ➔ x2 항 ➔ x3 항)
다항식을 정리할 때는 어떤 문자를 기준으로 할지 먼저 정하는 것이 중요하답니다!
📉 내림차순 정리: 차수가 높은 것부터 차례대로!
개념정리 2-1: 내림차순으로 정리하기
다항식을 한 문자에 대하여 그 문자의 차수가 높은 항부터 시작해서 점점 낮아지는 순서로 나타내는 것을 내림차순으로 정리한다고 해요. 마치 계단을 내려가듯이 차수가 점점 낮아지는 거죠. 다항식을 정리할 때 가장 일반적으로 많이 사용하는 방법이랍니다.
예시 1: 문자 하나일 때
다항식 P = 3x – 1 + 5x2 – x3 을 문자 x에 대하여 내림차순으로 정리해 볼게요.
- 각 항에서 x의 차수를 확인해요:
- -x3 : 3차
- 5x2 : 2차
- 3x : 1차
- -1 : 상수항 (0차)
- 차수가 높은 순서대로 항을 배열해요:
P = -x3 + 5x2 + 3x – 1
예시 2: 문자 여러 개일 때
다항식 Q = y2 + 3xy – 2x2y + 5 를 문자 x에 대하여 내림차순으로 정리해 볼게요. 이때 y는 계수의 일부, 즉 상수처럼 생각해요.
- x를 포함한 항들을 x의 차수별로 찾아요:
- x에 대한 2차항: -2x2y (계수는 -2y)
- x에 대한 1차항: 3xy (계수는 3y)
- x에 대한 상수항 (x가 없는 항): y2, 5 (이들을 묶어서 (y2 + 5)로 생각)
- x의 차수가 높은 순서대로 항을 배열해요:
Q = -2x2y + 3xy + (y2 + 5)
(괄호는 상수항 부분을 명확히 하기 위해 사용했어요. -2x2y + 3xy + y2 + 5 와 같이 써도 괜찮아요.)
📈 오름차순 정리: 차수가 낮은 것부터 차곡차곡!
개념정리 2-2: 오름차순으로 정리하기
다항식을 한 문자에 대하여 그 문자의 차수가 낮은 항부터 시작해서 점점 높아지는 순서로 나타내는 것을 오름차순으로 정리한다고 해요. 계단을 올라가듯이 차수가 점점 높아지는 거죠. 보통 상수항부터 시작해서 정리해요.
예시 1: 문자 하나일 때
다항식 P = 3x – 1 + 5x2 – x3 을 문자 x에 대하여 오름차순으로 정리해 볼게요.
- 각 항에서 x의 차수를 확인해요 (상수항은 0차).
- 차수가 낮은 순서대로 (상수항부터) 항을 배열해요:
P = -1 + 3x + 5x2 – x3
예시 2: 문자 여러 개일 때
다항식 Q = y2 + 3xy – 2x2y + 5 를 문자 x에 대하여 오름차순으로 정리해 볼게요.
- x에 대한 상수항부터 찾아요: (y2 + 5)
- x에 대한 1차항: 3xy
- x에 대한 2차항: -2x2y
- 차수가 낮은 순서대로 항을 배열해요:
Q = (y2 + 5) + 3xy – 2x2y
잠깐! 정리하기 전에 할 일 🛠️
다항식을 내림차순이나 오름차순으로 정리하기 전에, 만약 동류항(문자와 차수가 같은 항)이 있다면 먼저 계산해서 식을 간단하게 만들어주는 것이 좋아요. 그래야 정리가 더 깔끔하고 명확해진답니다!
🧐 개념확인 문제: 다항식 정리, 직접 해볼까요?
자, 이제 배운 내용을 바탕으로 다항식을 직접 정리해 봅시다. 어떤 문자를 기준으로 할지 잘 생각하고 풀어보세요!
다항식 2ax2 – bxy + cx2 + x2y + 7y2 에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, a, b, c는 상수)
- 문자 x에 대한 내림차순으로 정리하시오.
- 문자 y에 대한 오름차순으로 정리하시오.
정답 및 해설:
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x에 대한 내림차순 정리:
x를 포함한 항들을 찾아 x의 차수별로 묶어요.
- x에 대한 2차항: 2ax2, cx2, x2y. 이 항들의 x2의 계수는 각각 2a, c, y예요.
➔ x2의 계수를 묶으면 (2a + c + y)x2 - x에 대한 1차항: -bxy. 이 항의 x의 계수는 -by예요.
➔ (-by)x - x에 대한 상수항 (x가 없는 항): 7y2
따라서 x에 대한 내림차순으로 정리하면:
(2a + c + y)x2 – byx + 7y2
(또는 (2a + c + y)x2 – (by)x + 7y2 와 같이 계수를 명확히 표시할 수 있어요.)
- x에 대한 2차항: 2ax2, cx2, x2y. 이 항들의 x2의 계수는 각각 2a, c, y예요.
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y에 대한 오름차순 정리:
y를 포함한 항들을 찾아 y의 차수별로 묶고, 상수항부터 배열해요.
- y에 대한 상수항 (y가 없는 항): 2ax2, cx2.
➔ 묶으면 (2a + c)x2 또는 2ax2 + cx2 - y에 대한 1차항: -bxy, x2y. 이 항들의 y의 계수는 각각 -bx, x2예요.
➔ y의 계수를 묶으면 (-bx + x2)y 또는 (x2 – bx)y - y에 대한 2차항: 7y2.
따라서 y에 대한 오름차순으로 정리하면 (상수항부터):
(2a + c)x2 + (x2 – bx)y + 7y2
(또는 2ax2 + cx2 – bxy + x2y + 7y2 에서 y에 대해 차수 낮은 것부터 정렬해도 됩니다.)
- y에 대한 상수항 (y가 없는 항): 2ax2, cx2.
다항식을 어떤 문자에 대해, 어떤 순서로 정리하는지 연습하는 것은 매우 중요해요. 앞으로 더 복잡한 식을 다룰 때 기본기가 된답니다! 👍
오늘은 다항식을 내림차순과 오름차순으로 정리하는 방법에 대해 배웠어요. 식을 깔끔하게 정리하는 습관은 수학 실력 향상의 첫걸음이랍니다. 다양한 다항식을 직접 정리해보면서 익숙해지도록 노력해 보세요! 다음 시간에는 또 다른 다항식의 세계로 함께 떠나봐요! 파이팅! 🚀