1.1. 인수정리

공식: 다항식 $P(x)$에 대해 $P(a) = 0$ 이면 $(x-a)$는 $P(x)$의 인수이다.

💡 언제 사용하는가: 3차 이상의 방정식의 근을 찾을 때, 특히 정수근이나 유리수근을 예상할 수 있을 때 가장 먼저 시도합니다. 상수항의 약수들을 대입하여 $P(x)=0$이 되는 $x$ 값을 찾습니다.

1.2. 조립제법

공식: $P(x)$를 $(x-a)$로 나눌 때의 몫과 나머지를 빠르고 간편하게 구하는 방법.

💡 언제 사용하는가: 인수정리를 통해 한 근 $a$를 찾은 후, 원래 방정식의 차수를 낮춰 2차 방정식으로 만들 때 사용합니다. 2차 방정식이 되면 근의 공식이나 인수분해로 나머지 근을 찾을 수 있습니다.

1.3. 근과 계수의 관계 (3차 방정식)

공식: 3차 방정식 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ 의 세 근을 $\alpha, \beta, \gamma$라 할 때,

• $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$
• $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$
• $\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$

💡 언제 사용하는가: 세 근의 합, 두 근씩 곱한 값의 합, 세 근의 곱을 알 때 방정식을 작성하거나, 주어진 방정식의 근들의 관계를 이용해야 할 때 사용합니다. 한 근이 주어지고 다른 근들의 합이나 곱을 구할 때 유용합니다.

1.4. 상반방정식 (특수 형태)

공식: 계수가 대칭을 이루는 방정식 (예: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ 형태)

1. $x^2$으로 나눈다.
2. $x + \frac{1}{x} = t$ 로 치환한다. ($x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 – 2$ 임을 이용)
3. $t$에 대한 2차 방정식을 풀고, 다시 $x$ 값을 구한다.

💡 언제 사용하는가: 계수가 좌우 대칭인 4차 또는 5차 방정식이 주어졌을 때 사용합니다.

2.1. 부등식의 기본 성질

• $A > B \iff A+C > B+C$ (양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 변하지 않는다.)
• $A > B, C > 0 \iff AC > BC$ (양수로 곱하거나 나누면 부등호 방향은 변하지 않는다.)
• $A > B, C < 0 \iff AC < BC$ (음수로 곱하거나 나누면 부등호 방향은 반대로 바뀐다.)

💡 언제 사용하는가: 부등식의 양변에 특정 연산을 할 때 항상 이 성질을 염두에 두어야 합니다. 특히 음수를 곱하거나 나눌 때 주의합니다.

2.2. 해의 특수한 경우

$ax > b$ 형태에서,

• $a > 0$ 이면 $x > \frac{b}{a}$
• $a < 0$ 이면 $x < \frac{b}{a}$
• $a = 0$ 일 때:
  • $0 \cdot x > b$:
    • $b \ge 0$ 이면 해가 없다. (예: $0 \cdot x > 5$)
    • $b < 0$ 이면 해는 모든 실수. (예: $0 \cdot x > -3$)

💡 언제 사용하는가: 일차부등식을 풀었는데, $x$의 계수가 문자로 주어져 있거나 계산 과정에서 0이 될 가능성이 있는 경우, $x$의 계수가 0인 경우를 따로 생각하여 해의 유무를 판단해야 합니다.

3.1. 이차함수 그래프를 이용한 풀이

개념: 이차부등식 $ax^2 + bx + c > 0$ (또는 $<, \ge, \le$) 의 해는 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$ 의 그래프가 $x$축보다 위에 있는(또는 아래에 있는) $x$ 값의 범위와 같다.

절차:

1. 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ 의 근을 구한다. (이것이 $x$축과의 교점)
2. 이차함수의 최고차항 계수 $a$의 부호에 따라 그래프의 개형(아래로 볼록/위로 볼록)을 파악한다.
3. 그래프를 그려서 부등호를 만족하는 $x$ 값의 범위를 찾는다.

💡 언제 사용하는가: 이차부등식의 해를 구할 때 가장 기본적인 방법입니다. 항상 이차함수 그래프를 떠올리며 푸는 것이 중요합니다.

3.2. 판별식 $D$와 근의 관계 (부등식에서)

공식: 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ 의 판별식 $D = b^2 – 4ac$.

• $D > 0$: 서로 다른 두 실근 (그래프가 $x$축과 두 점에서 만남)
• $D = 0$: 중근 (그래프가 $x$축에 접함)
• $D < 0$: 서로 다른 두 허근 (그래프가 $x$축과 만나지 않음)

💡 언제 사용하는가: 모든 실수 $x$에 대해 $ax^2 + bx + c > 0$ (또는 $<0$) 이 성립하도록 하는 조건을 찾을 때. (예: 항상 양수가 되려면 $a>0$ 이고 $D<0$ 이어야 함) 이차부등식의 해가 특정한 형태(예: 해가 없거나, 단 하나의 해를 가지는 경우)일 때.

3.3. 절댓값을 포함한 이차부등식

개념: 절댓값 기호 안의 식의 부호에 따라 범위를 나누어 풀이합니다.

예시: $|x^2 – 4| < 3x$

1. $x^2 – 4 \ge 0$ 인 경우 ($x \le -2$ 또는 $x \ge 2$) 와 $x^2 – 4 < 0$ 인 경우 ($-2 < x < 2$) 로 나누어 각각의 부등식을 풉니다.
2. 각각의 범위에서 구한 해와 원래 범위를 교집합하여 최종 해를 구합니다.

💡 언제 사용하는가: 부등식 안에 절댓값이 포함되어 있을 때 무조건 사용합니다.

4.1. 순열 (Permutation)

공식: 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수 $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

💡 언제 사용하는가: ‘나열’, ‘배열’, ‘줄 세우기’, ‘직책 부여’ 등 순서가 중요한 경우. 예: 5명 중 3명을 뽑아 회장, 부회장, 총무를 뽑는 경우.

4.2. 조합 (Combination)

공식: 서로 다른 $n$개에서 $r$개를 택하기만 하는 경우의 수 $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

💡 언제 사용하는가: ‘선택’, ‘뽑기’, ‘팀 구성’, ‘조 만들기’ 등 순서가 중요하지 않은 경우. 예: 5명 중 3명을 뽑아 봉사활동 조를 만드는 경우.

5.1. 행렬의 연산 (덧셈, 뺄셈, 실수배, 곱셈)

개념: 각 연산의 정의를 정확히 이해하고 계산하는 것이 중요.

곱셈의 특징:

• 교환법칙 성립하지 않음: $AB \neq BA$ (일반적으로)
• $AB = O$ (영행렬) 이어도 $A=O$ 또는 $B=O$ 이 아닐 수 있음.
• $AB=AC$ 라도 $B=C$ 가 아닐 수 있음.

💡 언제 사용하는가: 행렬을 계산하거나 행렬의 성질을 이용한 문제를 풀 때 기본적으로 사용합니다.

5.2. 단위행렬 $E$

공식: $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (2차 정사각행렬의 경우)

특징: $AE = EA = A$

💡 언제 사용하는가: 행렬의 곱셈에서 1과 같은 역할을 합니다. 역행렬을 정의할 때 필수적으로 등장합니다.

5.3. 역행렬

공식: 행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 에 대하여

• 역행렬 $A^{-1}$ 의 존재 조건: $ad – bc \neq 0$ (행렬식 $det(A) \neq 0$)
• 역행렬 $A^{-1}$: $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

💡 언제 사용하는가: 어떤 행렬에 역행렬이 존재하는지 확인할 때 ($ad-bc \neq 0$ 인지 확인). 행렬을 이용한 연립방정식 $AX=B$ 를 풀 때 $X = A^{-1}B$ 로 해를 구할 때. 주어진 행렬이 역행렬을 가지지 않을 조건을 구할 때 ($ad-bc=0$ 인 조건을 찾음).

5.4. 행렬을 이용한 연립방정식 풀이

공식: 연립방정식 $\begin{cases} ax+by=p \\ cx+dy=q \end{cases}$ 는 행렬 방정식 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ 로 나타낼 수 있다.

• 이때 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ 라 하면 $AX = B$.
• $A^{-1}$ 가 존재하면 $X = A^{-1}B$
• $A^{-1}$ 가 존재하지 않는 경우 ($ad-bc=0$ 인 경우):
  • 해는 무수히 많거나 해가 없다.
  • 무수히 많은 해: $p, q$도 특정 조건 (일반적으로 $px-ay=0$, $qx-cy=0$ 과 같이)을 만족해야 한다.
  • 해가 없는 경우: $p, q$가 위 조건을 만족하지 않을 때.

💡 언제 사용하는가: 연립방정식을 행렬로 표현하고 해를 구할 때, 특히 해의 유무나 개수를 판단할 때 사용합니다.