마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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NORMAL01-1 함수의 극한 0/0꼴 함수의 극한의 활용
③a=1
수직이등분선은 OP 의 중점을 지나니 중점부터 구하세요 Q 는 수직이등분선에 x=0 을 넣어 얻는다.개념 카드 · 0/0꼴 함수의 극한의 활용 「수직이등분선 = 중점 + 기울기 곱 −1」
해설 STEP A 처럼 OP 의 중점은 M(t/2, t²/4) 이고, OP 의 기울기는 (t²/2)/t=t/2 이다. 수직이면 기울기의 곱이 −1 이므로 수직이등분선의 기울기는 −2/t 다. 중점과 기울기, 이 두 재료가 수직이등분선의 식을 결정한다.◀ 수직이등분선 = 중점 + 기울기 곱 −1
M 을 지나고 기울기가 −2/t 인 직선은 y=−(2/t)x+t²/4+1 이다. 해설 STEP A 의 파란 주석처럼 x=0 을 넣으면 y절편이 나오고, Q 가 y축 위의 점이므로 OQ=t²/4+1 이다. −(2/t)×(−t/2)=1 이 상수항 1 을 만든다는 점을 확인하라.◀ y축 교점 = y절편 = OQ
해설 STEP B 처럼 t→0+ 이면 OQ=t²/4+1→1 이다. 이 식은 0/0 꼴이 아니라 그대로 대입하면 된다. STEP C 에서 Q 가 점 (0, 1) 에 한없이 가까워지므로 a=1, 답은 ③.◀ 점 P→O 는 t→0+ 로 옮겨 읽기
발상의 출발점P 가 원점으로 다가가면 수직이등분선도 따라 움직이는데, 그 y절편이 어디로 가는지를 묻는다. 수직이등분선의 식만 t 로 세우면 Q 의 y좌표가 t²/4+1 로 나오고, 극한은 대입만으로 끝난다. 핵심은 ‘중점을 지나고 기울기 곱이 −1’ 이라는 수직이등분선의 정의를 식으로 옮기는 데 있다.
실수 포인트 ①수직이등분선이 P 나 O 를 지난다고 보고 식을 세우는 실수. 수직이등분선은 OP 의 중점 M(t/2, t²/4) 을 지난다.
실수 포인트 ②OP 의 기울기를 t 로 두는 실수. P 의 y좌표가 t²/2 이므로 기울기는 (t²/2)/t=t/2, 수직인 기울기는 −2/t 이다.
실수 포인트 ③y절편을 구할 때 −(2/t)×(−t/2)=1 을 빠뜨려 OQ=t²/4 로 두는 실수. 그러면 극한이 0 이 된다. 상수항까지 정리하면 OQ=t²/4+1→1 이다.
정답 ③ (a=1)
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