마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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BASIC01-1 함수의 극한 함수의 극한
30f(x)=−x(x+1)(x−2), 3×(−2)×(−5)=30
두 분모가 0으로 가니 f(x)는 두 인수를 품어야 함을 읽으세요 나머지 인수는 ax+b 로 두어 미지수를 둘로 만든다.개념 카드 · 다항함수의 결정 「분모→0 인 점 = f(x) 의 인수」
x→−1 이면 분모 x+1 이 0 인데 극한값 −3 이 존재하므로 분자 f(x) 도 0 으로 가야 한다. 해설 STEP A 처럼 f(−1)=0, 같은 이유로 f(2)=0 이다. 파란 주석대로 f(x) 는 x+1, x−2 를 인수로 가지며, 삼차함수이므로 나머지는 일차식 하나다. 그래서 f(x)=(x+1)(x−2)(ax+b) 로 놓는다.◀ 분모가 0 인 점 = f(x) 의 인수
해설 STEP B 처럼 첫 극한에서 x+1 을 약분하면 (x−2)(ax+b) 가 남고 x=−1 을 넣어 −3(−a+b)=−3, 즉 −a+b=1 ㉢. 둘째 극한에서 x−2 를 약분하면 (x+1)(ax+b), x=2 를 넣어 3(2a+b)=−6, 즉 2a+b=−2 ㉣. 두 조건이 미지수 두 개에 하나씩 대응한다.◀ 극한 하나 = 방정식 하나
㉢, ㉣ 을 빼면 3a=−3, a=−1, b=0 이다. 그러면 ax+b=−x 이므로 f(x)=−x(x+1)(x−2). 해설 STEP C 처럼 전개하지 않고 x=−3 을 인수마다 넣으면 3×(−2)×(−5)=30 이다. 음수 두 개와 앞의 − 부호를 차례로 곱해 부호를 확인하자.◀ 전개 말고 인수마다 대입, 부호는 하나씩
발상의 출발점삼차함수 f(x) 는 계수가 넷이라 막막해 보이지만, 두 극한의 분모가 0 으로 간다는 사실이 f(x) 의 인수 두 개를 알려 준다. 인수 둘을 떼어 내면 미지수는 나머지 일차식 ax+b 의 두 개뿐이고, 두 극한값이 각각 방정식 하나씩을 준다. ‘분모→0 ⇒ 인수 → 약분 → 대입 → 연립’ 이 이 유형의 뼈대이며, 식을 전개하지 않고 인수 곱 꼴 그대로 대입하는 것이 계산을 줄이는 요령이다.
실수 포인트 ①f(x)=(x+1)(x−2)(x+b) 처럼 나머지 인수의 x 계수를 1 로 두는 실수. 최고차항 계수가 주어지지 않았으므로 ax+b 로 두어야 한다 → a=−1, b=0
실수 포인트 ②첫 극한에서 x=−1 을 넣을 때 (x−2) 를 −1 로 계산하는 실수. −1−2=−3 이므로 −3(−a+b)=−3, 즉 −a+b=1 이다 → ㉢
실수 포인트 ③f(−3) 을 계산할 때 앞의 − 부호를 빠뜨려 −30 으로 답하는 실수. f(−3)=−(−3)(−2)(−5) 에서 −(−3)=3 이므로 3×(−2)×(−5)=30 이다
정답 30 (f(x)=−x(x+1)(x−2), 3×(−2)×(−5)=30)
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