마플시너지 미적분1 · 학원 내부용 액티브 답지
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NORMAL01-1 함수의 극한 함수의 극한
⑤5−6=−1
g(x)/(x²+x) 에 x²+x 를 곱해 g의 극한을 만드세요 x²+x 자체는 다항식이라 극한값은 대입으로 바로 나온다.개념 카드 · 함수의 극한 「g = (g/식)×식, 수렴하는 둘의 곱으로 g의 극한을 꺼낸다」
해설 STEP A를 보면 g(x)={g(x)/(x²+x)}×(x²+x)로 다시 쓴다. 앞 인수의 극한은 문제에서 1로 주어졌고, 뒤 인수 x²+x는 다항식이라 x→2에서 2²+2=6으로 수렴한다. 수렴하는 두 함수의 곱이므로 곱의 극한 성질을 써서 lim g(x)=1×6=6 을 얻는다.◀ g = (g/식)×식, 둘 다 수렴하면 곱해도 된다
lim f(x)는 직접 주어지지 않았다. 해설 STEP B처럼 f(x)를 {f(x)+g(x)}−g(x)로 다시 쓰면, 앞 덩어리의 극한은 조건에서 5, 뒤의 lim g(x)는 STEP A에서 6이다. 두 극한이 모두 존재하므로 차의 극한은 극한의 차로 나눌 수 있다.◀ f = (f+g) − g, 두 덩어리 모두 수렴
해설 STEP B의 마지막 줄 lim f(x)=lim{f(x)+g(x)}−lim g(x)=5−6=−1이다. 6−5=1로 순서를 바꾸면 보기에 없는 값이 나와 스스로 알아챌 수 있다. f+g의 극한 5에서 g의 극한 6을 빼는 것이 맞다. 정답 ⑤.◀ (f+g)의 극한 5 − g의 극한 6 = −1
발상의 출발점두 조건 중 g(x)/(x²+x)의 극한 1은 g의 극한을 알아내는 재료이고, f+g의 극한 5는 g를 알고 난 뒤 f를 꺼내는 재료다. 둘 다 「수렴하는 함수끼리의 곱·차는 극한값끼리 곱하고 뺀다」는 성질 하나로 해결된다. 순서가 중요하다. 먼저 g(x)를 (g/식)×식으로 만들어 극한 6을 얻고, 그다음 f=(f+g)−g로 극한 −1을 얻는다.
실수 포인트 ①g(x)/(x²+x)의 극한이 1이니 g(x)=x²+x라고 함수 자체를 같다고 두는 실수. 같은 것은 극한값뿐이며 lim g(x)=1×lim(x²+x)=1×6=6 이다.
실수 포인트 ②lim(x²+x)를 2²+2=6이 아니라 2+2=4로 계산하는 실수. x²에 2를 넣으면 4이므로 4+2=6 → lim g=6.
실수 포인트 ③lim f(x)=lim g(x)−lim{f(x)+g(x)}=6−5=1로 뺄셈 순서를 바꾸는 실수. f=(f+g)−g 이므로 5−6=−1, 정답 ⑤.
정답 ⑤ (5−6=−1)
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