🎨 개념정리: 모집단의 값(모수) vs 표본의 값(통계량)

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 우리가 표본조사를 하는 이유는 ‘표본’의 정보를 통해 ‘모집단’의 특성을 추측하기 위해서라고 했죠. 그렇다면 모집단의 평균과 표본의 평균은 어떻게 다를까요? 오늘은 이 둘을 나타내는 용어와 기호를 정확히 구별해 봅시다.

1. 모수(Parameter): 우리가 알고 싶은 진짜 값

모집단 전체의 평균을 **모평균**, 분산을 **모분산**이라고 불러요. 엄마(母)라는 단어가 붙었죠? 근본이 되는 값이라는 뜻이에요. 기호로는 각각 **m**, **σ²**를 사용하고, 이 값들은 우리가 알지 못할 뿐 변하지 않는 고정된 상수랍니다.

2. 통계량(Statistic): 표본에서 얻은 정보

모집단에서 크기가 n인 표본을 뽑았을 때, 이 표본 데이터만 가지고 구한 평균을 **표본평균(X̄, 엑스 바)**, 분산을 **표본분산(S²)**이라고 해요. 가장 중요한 점은, 표본평균과 표본분산은 **어떤 표본이 뽑히느냐에 따라 매번 값이 달라진다**는 거예요. 그래서 이 값들은 상수가 아니라 **확률변수**랍니다!

3. 표본분산의 함정: 왜 n-1로 나눌까?

표본평균은 우리가 알던 대로 n으로 나누는데, 표본분산을 구할 때는 편차 제곱의 합을 n이 아닌 **n-1**로 나눠줘요. 아주 중요한 약속이니 꼭 기억해야 해요! 이유를 간단히 설명하면, 표본의 데이터는 아무래도 모집단 전체보다는 자기들끼리 모여있을 확률이 높아요. 그래서 그냥 n으로 나누면 분산이 실제 모분산보다 작게 계산되는 경향이 있답니다. 이 오차를 보정해주기 위해 n보다 작은 n-1로 나눠서 값을 조금 더 크게 만들어주는 거예요.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 모집단 {1, 3, 5, 7}이 있다. 이 모집단에서 크기가 2인 표본 {3, 7}을 뽑았다고 하자. 이 표본의 표본평균(X̄)과 표본분산(S²)을 구하시오.

풀이:

(1) 표본평균(X̄) 구하기
X̄ = (3 + 7) / 2 = 5

(2) 표본분산(S²) 구하기
– 표본의 크기 n=2 입니다.
– 표본평균은 5이므로, 편차는 각각 (3-5)=-2, (7-5)=2 입니다.
– 편차의 제곱은 각각 (-2)²=4, 2²=4 입니다.
– 표본분산 S² = (편차제곱의 합) / (n-1) = (4+4) / (2-1) = 8/1 = 8 입니다.

💡 참고: 목표(모평균)와 도구(표본평균)

용어를 절대 헷갈리면 안 돼요! **모평균(m)**은 우리가 추정하고 싶은 최종 목표이자 변하지 않는 값이고, **표본평균(X̄)**은 그 목표를 추정하기 위해 사용하는 도구이자 뽑을 때마다 변하는 값이에요. 앞으로 이 둘의 관계를 이용해서 통계적 추정을 하게 된답니다.