✨ 핵심만정리

이산확률분포인 **이항분포 B(n, p)**는, 시행 횟수 **n이 충분히 크면** 근사적으로(거의 비슷하게) 연속확률분포인 **정규분포 N(np, npq)**를 따른다고 할 수 있어요.

※ ‘n이 충분히 크다’는 보통 np≥5, nq≥5 일 때를 의미해요.

🎨 개념정리: 이산분포가 연속분포를 닮아간다?

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 점처럼 뚝뚝 떨어져 있던 이산확률분포(이항분포)와, 부드러운 곡선 모양의 연속확률분포(정규분포)는 전혀 다른 세상 이야기 같았죠? 하지만 놀랍게도, 둘은 아주 친한 친구 사이랍니다. 시행 횟수 n이 아주 커지면, 이항분포가 정규분포를 닮아가거든요!

그래프로 보는 관계

주사위를 던져 1이 나오는 횟수의 분포를 생각해봐요. 10번 던졌을 때의 확률분포 그래프는 삐죽빼죽하지만, 100번, 1000번 던졌을 때의 그래프를 그려보면 점점 좌우대칭의 아름다운 종 모양, 즉 정규분포 곡선에 가까워지는 것을 볼 수 있어요.

이항분포의 정규분포 근사(Approximation)

이 놀라운 성질 덕분에 우리는 계산이 복잡한 이항분포를 다루기 쉬운 정규분포로 바꿔서 생각할 수 있어요.

• 이항분포의 평균 **np**가 → 정규분포의 평균 **m**이 됩니다.
• 이항분포의 분산 **npq**가 → 정규분포의 분산 **σ²**가 됩니다.

만약 동전을 100번 던져서 앞면이 45번에서 55번 사이로 나올 확률을 구하려면, 원래는 독립시행의 확률을 11번이나 계산해서 더해야 해요. 하지만 ‘B(100, 0.5)는 N(50, 25)를 따른다’고 근사시킨 뒤, 정규분포의 표준화를 이용하면 이 복잡한 확률을 아주 쉽게 계산할 수 있답니다!

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 확률변수 X가 이항분포 B(400, 0.2)를 따를 때, X는 근사적으로 정규분포 N(a, b²)을 따른다. 이때 상수 a, b의 값을 구하시오. (단, b>0)

풀이:

n=400으로 충분히 크므로, 이항분포 B(400, 0.2)는 정규분포로 근사할 수 있어요.

1. 평균 a 구하기: a = np = 400 × 0.2 = 80
2. 분산 b² 구하기: b² = npq = 400 × 0.2 × (1-0.2) = 80 × 0.8 = 64
3. b 구하기: b²=64 이고 b>0 이므로, b=8 입니다.

따라서 X는 근사적으로 **N(80, 8²)**을 따릅니다.

💡 참고: ‘근사’의 의미

이산적인 것을 연속적인 것으로 ‘근사(approximation)’하는 아이디어는 통계에서 아주 중요해요. 계산이 복잡한 이항분포를 다루기 쉬운 정규분포로 바꿔서 문제를 해결하는 강력한 도구이기 때문이죠. 다만 ‘근사’는 ‘완전히 똑같다’는 아니라는 점! n이 충분히 크지 않을 때는 오차가 클 수 있다는 점만 기억해주세요.