✨ 핵심만정리

• 표준정규분포란?: 모든 정규분포 중에서 가장 기본이 되는 기준! **평균이 0이고, 분산(및 표준편차)이 1**인 특별한 정규분포예요.
• 기호: N(0, 1)
• 핵심: 이 분포의 확률(넓이) 값은 **’표준정규분포표’**에 모두 계산되어 있어서, 우리는 표만 읽으면 확률을 알 수 있어요.

🎨 개념정리: 기준이 되는 자, 표준정규분포

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 세상에는 평균과 분산이 다른 무수히 많은 정규분포가 존재해요. 수학 점수 정규분포, 키 정규분포… 이들을 어떻게 서로 비교하고 확률을 계산할 수 있을까요? 바로 모든 정규분포를 비교하는 ‘기준 자(ruler)’ 역할을 하는 **표준정규분포**를 이용하면 된답니다!

표준정규분포 N(0, 1)

수많은 정규분포 N(m, σ²) 중에서 가장 단순하고 기본적인, **평균(m)이 0이고 분산(σ²)이 1**인 정규분포를 ‘표준’으로 정하고 **표준정규분포**라고 불러요. 이때의 확률변수는 보통 Z라고 씁니다.

표준정규분포표 읽기와 대칭성 활용

표준정규분포의 가장 큰 장점은, 모든 구간의 넓이(확률)를 수학자들이 미리 계산해서 표로 만들어두었다는 거예요. 우리는 그 표를 읽기만 하면 돼요! 보통 표에는 P(0 ≤ Z ≤ z)의 값이 나와있습니다.

또한, 그래프가 0에 대해 완벽히 대칭이라는 성질을 이용하면 모든 구간의 확률을 구할 수 있어요.

• P(Z ≥ a) = 0.5 – P(0 ≤ Z ≤ a)
• P(-a ≤ Z ≤ 0) = P(0 ≤ Z ≤ a)
• P(-a ≤ Z ≤ b) = P(0 ≤ Z ≤ a) + P(0 ≤ Z ≤ b)

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 확률변수 Z가 표준정규분포 N(0,1)을 따를 때, 아래 표를 이용하여 P(-1.5 ≤ Z ≤ 2)를 구하시오.

z	P(0≤Z≤z)
1.5	0.4332
2.0	0.4772

풀이:

1. P(-1.5 ≤ Z ≤ 2)는 P(-1.5 ≤ Z ≤ 0) 와 P(0 ≤ Z ≤ 2)의 합으로 나눌 수 있어요.
2. 대칭 성질에 의해 P(-1.5 ≤ Z ≤ 0)은 P(0 ≤ Z ≤ 1.5)와 같아요.
3. 따라서 구하는 확률은 P(0 ≤ Z ≤ 1.5) + P(0 ≤ Z ≤ 2) 입니다.

정답은 0.9104 입니다.

💡 참고: 변신의 목적지, 표준정규분포

그런데 우리가 다루는 데이터는 수학 점수처럼 평균이 0, 분산이 1이 아닌 경우가 대부분이잖아요? 그럼 이 표준정규분포는 어떻게 써먹을 수 있을까요? 다음 시간에는 어떤 정규분포 N(m, σ²)이든 이 표준정규분포 N(0, 1)로 ‘변신’시키는 마법 같은 과정, **’표준화’**에 대해 배울 거예요. 표준정규분포는 그 변신을 위한 최종 목적지랍니다!