✨ 핵심만정리

정규분포 N(m, σ²)의 그래프 모양은 평균(m)과 표준편차(σ)에 의해 결정돼요.

• 평균(m)의 역할: 곡선의 **위치(대칭축)**를 결정해요. m이 커지면 그래프는 오른쪽으로, 작아지면 왼쪽으로 평행이동해요.
• 표준편차(σ)의 역할: 곡선의 **모양(높이와 폭)**을 결정해요.
  • σ가 커지면 → 그래프는 **낮고 넓게** 퍼져요.
  • σ가 작아지면 → 그래프는 **높고 뾰족**해져요.

🎨 개념정리: 그래프의 위치와 모양을 바꾸는 두 주인공

안녕하세요, 수학포스팅입니다! 모든 정규분포 곡선이 똑같은 종 모양은 아니랍니다. 어떤 종은 높고 뾰족하고, 어떤 종은 낮고 완만하죠. 이 모양을 결정하는 두 명의 주인공이 바로 **평균(m)**과 **표준편차(σ)**예요. 이 둘이 정규분포 곡선을 어떻게 바꾸는지 알아봅시다.

1. 평균(m)의 변화: 그래프의 평행이동

표준편차(σ)가 똑같을 때, 평균(m)만 달라지면 그래프의 모양은 변하지 않고 대칭축의 위치만 좌우로 움직여요. 마치 같은 모양의 언덕이 장소를 옮기는 것과 같죠.

예를 들어, 수학 점수 평균이 60점인 A반과 80점인 B반이 있고, 두 반의 점수 분포(퍼진 정도)는 같다고 해봅시다. B반의 정규분포 곡선은 A반의 곡선이 그대로 오른쪽으로 20만큼 이동한 모양이 될 거예요.

2. 표준편차(σ)의 변화: 그래프 모양의 변화

평균(m)이 똑같을 때, 표준편차(σ)가 달라지면 대칭축은 그대로지만 곡선의 높이와 폭이 변해요.

• σ가 클 때: 표준편차는 ‘흩어진 정도’를 의미하므로, σ가 크다는 건 점수들이 평균에서 멀리, 넓게 퍼져있다는 뜻이에요. 그래서 그래프는 높이가 낮아지고 옆으로 넓게 퍼진 모양이 돼요.
• σ가 작을 때: σ가 작다는 건 점수들이 평균 근처에 옹기종기 모여있다는 뜻이에요. 그래서 그래프는 높이가 솟아오르고 옆으로 좁고 뾰족한 모양이 된답니다.

👀 개념확인 문제 풀어보기!

문제: 두 과목 A, B의 성적이 각각 정규분포 N(60, 5²)과 N(60, 10²)을 따른다고 한다. 다음 중 옳은 설명을 고르시오.

1. A 과목의 평균 성적이 더 높다.
2. B 과목의 성적이 더 고르다.
3. B 과목의 정규분포 곡선이 더 높고 뾰족하다.
4. A 과목의 정규분포 곡선이 더 높고 뾰족하다.

풀이:

두 과목의 평균은 60점으로 같아요. 표준편차는 A가 5, B가 10입니다.

표준편차가 작을수록 성적이 평균에 더 모여있다는 뜻이므로, 성적이 더 ‘고른’ 과목은 A입니다. 또한, 표준편차가 작을수록 그래프는 더 높고 뾰족한 모양이 되므로, A 과목의 곡선이 더 높고 뾰족합니다. 따라서 정답은 4번입니다.

💡 참고: ‘성적이 고르다’의 의미

정규분포 곡선의 모양을 보고 표준편차의 크기를 비교하는 문제는 아주 자주 나와요. 아래 세 표현은 모두 같은 의미라는 것을 꼭 기억해주세요!

성적이 고르다 = 표준편차가 작다 = 그래프가 높고 뾰족하다

반대로 ‘성적이 고르지 않다’는 것은 ‘표준편차가 크다’, ‘그래프가 낮고 완만하다’는 뜻이겠죠?