🎯 마플시너지 공통수학1 0750번: 이차함수 결정 완벽 해설
반갑습니다. 수학문제집파헤치기입니다.
오늘 분석할 문제는 **마플시너지 공통수학1**의 **이차함수 단원**에 수록된 **0750번 (Tough 유형)** 문제입니다.
이 문제는 **이차함수의 대칭성(축)**과 **그래프의 기하학적 성질(거리)**을 동시에 이용해야 하는 전형적인 **내신 1등급 판별 문제**입니다.
1. \( f(0)=f(6) \) \(\Rightarrow\) **축의 방정식**은 \( x=3 \)이다!
2. \( x \)축과 만나는 두 점 사이의 거리 = 4 \(\Rightarrow\) **축을 기준으로 좌우로 2씩** 떨어져 있다!
1. 문제 분석: 출제자의 의도를 파악하라!
이차함수 \( f(x) = ax^2 + bx + c \)가 다음 조건을 만족시킬 때, \( f(5) \)의 값을 구하시오. (단, \( a, b, c \)는 상수이다.)
- **(가)** \( f(0) = f(6) \)
- **(나)** 함수 \( y=f(x) \)의 그래프의 꼭짓점의 \( y \)좌표는 \(-4\)이다.
- **(다)** 함수 \( y=f(x) \)의 그래프가 \( x \)축과 두 점 \( A, B \)에서 만나고 \( \overline{AB} = 4 \)이다.
🧐 조건 해석 (Thinking Process)
(가) \( f(0) = f(6) \) 의 의미:
이차함수는 **축에 대해 대칭**입니다. 함숫값이 같은 \( x=0 \)과 \( x=6 \)의 **중점**이 바로 대칭축입니다.
\(\therefore\) 축의 방정식 \( x = \frac{0+6}{2} = 3 \)
(나) 꼭짓점의 \( y \)좌표 = -4:
축이 \( x=3 \)이므로 꼭짓점의 좌표는 \( (3, -4) \)입니다.
\(\therefore\) 식 세우기 가능: \( f(x) = a(x-3)^2 – 4 \)
(다) \( \overline{AB} = 4 \) (x축과의 교점 거리):
[Image of quadratic function graph showing axis of symmetry and x-intercepts]
축 \( x=3 \)을 기준으로, 거리가 4이므로 **좌우로 2만큼** 떨어져 있습니다.
즉, \( x \)절편은 \( 3-2=1 \)과 \( 3+2=5 \)입니다. \(\Rightarrow\) 그래프가 점 \( (1, 0), (5, 0) \)을 지난다!
2. 단계별 풀이 (Step-by-Step)
STEP 1. 표준형 식 세우기
조건 (가), (나)에 의해 꼭짓점이 \( (3, -4) \)이므로, 이차함수 식을 다음과 같이 설정합니다.
$$ f(x) = a(x-3)^2 – 4 \quad (a \ne 0) $$
STEP 2. 미지수 \( a \) 구하기
조건 (다)에서 구한 \( x \)절편 중 하나인 \( (5, 0) \)을 식에 대입합니다.
$$ f(5) = a(5-3)^2 – 4 = 0 $$
$$ a(2)^2 – 4 = 0 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1 $$
STEP 3. 최종 답 구하기
완성된 식: \( f(x) = 1(x-3)^2 – 4 = (x-3)^2 – 4 \)
문제에서 요구하는 \( f(5) \)의 값은?
(이미 대입 과정에서 구했듯이) **0** 입니다.
두 근을 \( \alpha, \beta \)라 하면, \( |\alpha – \beta| = 4 \)입니다.
곱셈 공식 변형 \( (\alpha – \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 – 4\alpha\beta \) 를 이용하여 \( a \)를 구할 수도 있습니다. 하지만 **그래프 대칭성**을 이용하는 첫 번째 풀이가 훨씬 빠르고 직관적입니다.
3. 🚨 오답 피하기 (함정 탈출)
- 함정 1: \( f(0)=f(6) \)을 보고 \( f(0) \)과 \( f(6) \)의 값이 0이라고 착각하는 경우가 있습니다. (함숫값이 같다는 뜻이지 0이라는 뜻은 아닙니다.)
- 함정 2: 거리 \( \overline{AB}=4 \)를 이용할 때, 축에서 한쪽으로만 4만큼 갔다고 생각하면 안 됩니다. (축을 중심으로 양쪽으로 나누어집니다.)
4. 변형 문제로 실력 다지기 (유사 유형)
이 문제와 숫자만 바꾼 유사 문제입니다. 직접 풀어보세요!
[변형 문제] 이차함수 \( f(x)=ax^2+bx+c \)가 다음 조건을 만족한다.
- (가) \( f(-1) = f(3) \)
- (나) 최솟값은 -3이다.
- (다) \( x \)축과 만나는 두 점 사이의 거리는 6이다.
이때, \( f(4) \)의 값은?
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2. 꼭짓점: \( (1, -3) \) \(\Rightarrow f(x)=a(x-1)^2-3\)
3. \( x \)절편: 축 1에서 좌우로 3씩 이동 \(\Rightarrow (4, 0), (-2, 0)\)
4. 대입: \( f(4) = a(3)^2 – 3 = 0 \Rightarrow 9a=3 \Rightarrow a=1/3 \)
5. 식: \( f(x) = \frac{1}{3}(x-1)^2 – 3 \)
정답: \( f(4)=0 \) (조건 (다)에 의해 바로 알 수 있음)