2021학년도 1학기 2차 지필평가
2학년 수학 I
1. 수열 2, $x$, 14, $y$, 26, …이 등차수열일 때, $xy$의 값은?
[4.3점]2. 제3항이 2, 제6항이 -16인 등비수열의 공비 $r$의 값은?
[4.4점]3. 그림과 같은 삼각형 ABC의 넓이는?
[4.5점]4. 다음은 $5^{2}+6^{2}+7^{2}+\cdot\cdot\cdot+13^{2}$ 을 구하는 과정이다.
[4.6점]위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 $a, b$라 할 때, $a+b$의 값은?
5. 등차수열 $\{a_{n}\}$ 에서 $a_4=9, a_{10}=-3$일 때, $|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+\cdot\cdot\cdot+|a_{20}|$ 의 값은?
[4.7점]6. 수열 $\{a_{n}\}$ 의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 $S_n$이라 하자. $S_n=2n^{2}+5n+3$일 때, $a_{1}+a_{5}$ 의 값은?
[4.7점]7. $\sum_{m=1}^{n}(m^{3}+\frac{n+1}{2})=110$을 만족시키는 자연수 $n$의 값은?
[4.7점]8. 모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\frac{a_{10}}{a_{6}}=4, a_{3}+a_{5}=18$일 때, $\sum_{k=5}^{8}a_{2k-1}$의 값은?
[4.8점]9. 매월 초에 월이율이 0.6%이고, 1개월마다 복리인 상품에 24개월 동안 저금하려고 한다. 첫 달에 100만 원을 저금하고 그 다음 달부터는 전달보다 0.6% 많은 금액을 저금한다고 할 때, 24개월 말까지 저금한 금액의 원리합계는? (단, $1.006^{24}=1.15$로 계산한다.)
[4.9점]10. 똑같은 성냥개비를 사용하여 다음 그림과 같은 모양을 계속 만들려고 한다. $n$단계의 모양을 만드는 데 필요한 성냥개비의 개수를 $a_n$이라 할 때, $a_{n+1}=a_n+f(n)$이다. $f(2021)$의 값은?
[4.9점][1단계] [2단계] [3단계] [4단계]
11. $0 < \theta < 2\pi$일 때, $x$에 대한 이차방정식 $x^{2}+(4\sin\theta)x-6\cos\theta=0$ 이 실근을 갖지 않도록 하는 모든 $\theta$의 값의 범위는 $\alpha < \theta < \beta$이다. $2\alpha+\beta$의 값은?
[5.1점]12. 모선 OA의 길이가 6이고, 밑면의 지름 AB의 길이가 3인 원뿔에서 모선 OB 위의 점 P에 대하여 $\overline{OP}=3\sqrt{3}$이다. 점 A에서 원뿔의 옆면을 따라 점 P까지 가는 최단 거리를 $d$라 할 때, $d^2$의 값은?
[5.1점][원뿔 그림]
13. 그림과 같이 직선 $y=\sqrt{3}x$ 위의 제1사분면의 점 A와 좌표가 양수인 $y$축 위의 점 B가 있다. $\overline{OP}=\overline{AP}=\overline{BP}$를 만족시키는 좌표평면 위의 점 P에 대하여 $\overline{AB}=6$일 때, 선분 OP의 길이는? (단, O는 원점이다.)
[5.2점][좌표평면 그림]
14. 다음은 $n \ge 5$인 모든 자연수 $n$에 대하여 부등식 $2^{n}>n^{2}$이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.
[5.2점](ii) $n=k (k\ge5)$일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면 $2^{k}>k^{2}$…①
①의 양변에 (나)를 곱하면 (나)$\cdot 2^{k}>$(나)$\cdot k^2$ 이다. 이때, $k \ge 5$이므로 (나)$\cdot k^{2}-$(다)$=(k-1)^{2}-2>0$ 이다.
따라서 $n=k+1$일 때도 주어진 부등식이 성립한다.
위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 $p, q$, (다)에 알맞은 식을 $f(k)$라 할 때, $pq+f(2)$의 값은?
15. $0\le x\le\pi$ 일 때, $n\ge2$ 인 모든 자연수 $n$에 대하여 두 곡선 $y=\sin x$와 $y=\sin(nx)$의 교점의 개수를 $a_{n}$이라 하자. $\sum_{n=2}^{5}a_{n}$의 값은?
[5.3점]16. 수열 $\{a_{n}\}$이 다음 조건을 만족시킬 때, $\sum_{k=1}^{10}a_{k}$의 값은?
[5.3점](나) 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_{k})=3n+1$ 이다.
17. 좌표평면에서 자연수 $n$에 대하여 $A_n$을 4개의 점 $(n^2, n^2), (4n^2, n^2), (4n^2, 4n^2), (n^2, 4n^2)$을 꼭짓점으로 하는 정사각형이라 하자. 정사각형 $A_n$과 함수 $y=k\sqrt{x}$의 그래프가 만나도록 하는 자연수 $k$의 개수를 $a_n$이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[5.4점]ㄱ. $a_{3}=11$
ㄴ. $a_{n+4}-a_{n}=15$
ㄷ. $\sum_{n=1}^{20}a_{n}=750$
18. 수열 $\{a_{n}\}$의 제$n$항 $a_n$을 $\frac{n}{2^{k}}$이 자연수가 되게 하는 음이 아닌 정수 $k$의 최댓값이라 하자. 예를 들어, $a_{1}=0$ 이고 $a_{4}=2$이다. $a_{m}=5$일 때, $a_{m}+a_{2m}+a_{3m}+\cdot\cdot\cdot+a_{10m}$의 값은?
[5.5점]19. 자연수 $n$에 대하여 함수 $y=|2\cos\frac{\pi}{2}(x-1)|$의 그래프와 함수 $y=\log_{2n}x$의 그래프가 만나는 점의 개수를 $a_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{7}a_{n}$의 값은?
[5.6점]20. 두 등차수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$과 실수 전체의 집합의 두 부분집합 $A=\{a_{k}|10
(나) $n(A\cap B)=n(A\cap B^{C})=\frac{1}{2}\times n(A^{C}\cap B)$
(다) 집합 $A \cap B$의 모든 원소의 합은 136이다.
집합 B의 모든 원소의 합은?