빈출 유형
곡선과 직선 사이의 넓이
f(x+p)=f(x)+q 꼴의 함수
출제의도
이 문항은 한 구간에서만 식이 주어진 함수를 조건 f(x+3)=f(x)+3으로 확장하고, 그 그래프와 직선 y=x 사이의 넓이를 구할 수 있는지 확인합니다. 조건 (나)는 그래프를 x축 방향으로 3만큼, y축 방향으로 3만큼 평행이동해도 자기 자신과 겹친다는 뜻입니다.
이 평행이동은 직선 y=x도 그대로 옮기므로, 2≤x≤5에서 만들어진 곡선과 직선 사이의 조각 하나가 같은 모양으로 계속 반복됩니다. 한 조각의 넓이를 구하고 0≤x≤60에 몇 개 분량이 들어가는지 정확히 세는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
조건 (나) f(x+3)=f(x)+3은 점 (x, f(x))가 그래프 위에 있으면 점 (x+3, f(x)+3)도 그래프 위에 있다는 뜻입니다. 즉 그래프를 x축 방향으로 3, y축 방향으로 3만큼 평행이동해도 그대로입니다. 이 평행이동을 직선 y=x에 적용하면 어떻게 되는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
먼저 2≤x≤5에서 곡선 y=−x2+8x−10과 직선 y=x가 만나는 점을 구해 보세요. −x2+8x−10=x를 풀면 교점의 x좌표가 구간의 양 끝 2와 5로 나옵니다.
직선 y=x는 (3, 3)만큼 평행이동해도 자기 자신이므로, 곡선과 직선 사이의 조각 하나가 x좌표 3칸마다 같은 모양으로 반복됩니다. 식으로 보면 g(x)=f(x)−x라 할 때 g(x+3)=g(x)가 성립합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
한 조각의 넓이는 ∫52{(−x2+8x−10)−x}dx입니다. 구간 0≤x≤60의 길이는 60=3×20이므로 조각 20개 분량이 들어갑니다. 양 끝의 자투리 부분 0≤x≤2와 59≤x≤60을 합치면 조각 하나가 된다는 점을 확인하세요.
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정답 90
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A2≤x≤5에서 곡선과 직선의 교점 구하기
−x2+8x−10=x에서 x2−7x+10=0, (x−2)(x−5)=0이므로 x=2 또는 x=5입니다. 곡선은 직선 y=x와 두 점 (2, 2), (5, 5)에서 만나고, 2≤x≤5에서 f(x)−x=−(x−2)(x−5)≥0이므로 곡선이 직선보다 위에 있습니다.
STEP B조건 (나)로 그래프 전체 그리기
f(x+3)=f(x)+3이므로 2≤x≤5의 조각을 (3, 3)만큼씩 옮기면 5≤x≤8, 8≤x≤11, … 의 그래프가 되고, 반대 방향으로 옮기면 −1≤x≤2의 그래프가 됩니다. f(5)=5=f(2)+3이므로 조각들은 끊기지 않고 이어지며, 모든 조각은 x=2+3n (n은 정수)인 점에서 직선 y=x와 만납니다.
STEP C조각 하나의 넓이 구하기
∫52(−x2+7x−10)dx=[−13x3+72x2−10x]52=−256−(−263)=92입니다.
STEP D0≤x≤60에 들어가는 조각의 수 세기
2≤x≤59에는 온전한 조각이 19개 있고, 양 끝의 0≤x≤2와 59≤x≤60을 합치면 조각 하나가 됩니다. 따라서 모두 20개 분량이므로 구하는 넓이는 20×92=90입니다.
1등급 다른 풀이 · f(x)−x를 주기함수로 보기
g(x)=f(x)−x로 놓으면 g(x+3)=f(x+3)−(x+3)=f(x)+3−x−3=g(x)이므로 g(x)는 주기가 3인 함수입니다. 2≤x≤5에서 g(x)=−(x−2)(x−5)≥0이므로 모든 실수 x에서 g(x)≥0이고, 구하는 넓이는 ∫600g(x)dx입니다.
주기함수는 길이가 주기와 같은 어느 구간에서 적분해도 값이 같습니다. 구간의 길이 60은 주기 3의 20배이므로 조각의 수를 따로 세지 않아도 ∫600g(x)dx=20∫52g(x)dx입니다. 또 한 조각의 넓이는 이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이 공식 |a|(β−α)36을 쓰면 1×336=92로 적분 없이 바로 나옵니다. 따라서 넓이는 20×92=90입니다.
실수를 줄이는 전략
- 한 조각의 넓이를 ∫52f(x)dx로 계산하는 실수가 있습니다. 구하는 것은 곡선과 x축이 아니라 곡선과 직선 y=x 사이의 넓이이므로 f(x)−x를 적분해야 합니다.
- 2≤x≤59의 온전한 조각만 세면 19개가 되어 19×92=1712이라는 오답이 나옵니다. 0≤x≤2와 59≤x≤60의 자투리를 합치면 조각 하나가 된다는 점을 꼭 확인하세요.
- 조건 (나)를 f(x+3)=f(x)로 잘못 읽으면 그래프가 옆으로만 반복된다고 착각하게 됩니다. +3 때문에 그래프가 대각선 방향, 즉 직선 y=x를 따라 반복된다는 점이 이 문항의 출발점입니다.
- −x2+8x−10=x를 정리할 때 8x−x=7x이므로 x2−7x+10=0입니다. 이항하면서 부호를 놓치지 않도록 한 줄씩 옮겨 쓰세요.
엄선된 풀이 영상
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