빈출 유형
넓이가 같을 조건
정적분의 부호
출제의도
이 문항은 x축 위쪽과 아래쪽에 생기는 두 부분의 넓이가 같다는 조건을 하나의 정적분 조건 ∫30f(x)dx=0으로 바꿀 수 있는지 확인합니다. 넓이와 정적분의 값이 부호에서 어떻게 다른지 이해하는 것이 핵심입니다.
그래프를 그려 x=0에서 x축에 접하고 x=a, x=3에서 x축을 뚫고 지나간다는 것을 먼저 파악해야, 두 부분이 각각 0≤x≤a와 a≤x≤3이라는 구간을 정확히 잡을 수 있습니다.
단계별 힌트
x축 위에 있는 부분의 정적분 값은 양수, x축 아래에 있는 부분의 정적분 값은 음수입니다. 두 부분의 넓이가 같다면, 두 구간의 정적분을 이어 붙였을 때 어떤 값이 나올지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(x)=x2(x−a)(x−3)은 x=0에서 x축에 접하고, 0<x<a에서 f(x)>0, a<x<3에서 f(x)<0입니다.
따라서 S1=∫a0f(x)dx, S2=−∫3af(x)dx이고, S1=S2는 ∫30f(x)dx=0과 같습니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(x)를 전개하면 x4−(a+3)x3+3ax2입니다. 0부터 3까지 적분하면 a에 대한 일차식이 나오므로, 이 식을 0으로 놓고 a를 구하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 95
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A그래프 개형으로 두 부분의 구간 파악하기
f(x)=x2(x−a)(x−3)은 x=0에서 중근, x=a와 x=3에서 단순근을 가집니다. 0<x<a에서는 x축 위(S1), a<x<3에서는 x축 아래(S2)에 그래프가 있습니다.
STEP B넓이 조건을 정적분 조건으로 바꾸기
S1=∫a0f(x)dx, S2=−∫3af(x)dx이므로 S1−S2=∫a0f(x)dx+∫3af(x)dx=∫30f(x)dx=0입니다.
STEP C정적분을 계산해 a 구하기
∫30{x4−(a+3)x3+3ax2}dx=[15x5−a+34x4+ax3]03=274a−24320=0이므로 a=24320×427=95이고, 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · a가 들어간 부분만 따로 떼어 적분하기
f(x)=x2(x−3)(x−a)=x3(x−3)−a·x2(x−3)으로 나누어 쓰면, 조건 ∫30f(x)dx=0은 ∫30x3(x−3)dx=a∫30x2(x−3)dx가 됩니다. 두 적분은 모두 a와 무관한 숫자입니다.
∫30(x4−3x3)dx=2435−2434=−24320, ∫30(x3−3x2)dx=814−27=−274이므로 a=24320÷274=95입니다. (a+3)을 계수로 달고 전개·정리하는 과정이 사라져, 계산 실수가 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- 두 넓이가 같다고 해서 S1+S2=0으로 놓으면 안 됩니다. 넓이는 항상 양수이므로 같다는 조건은 부호 있는 정적분의 합 ∫30f(x)dx=0으로 옮겨야 합니다.
- x=0은 중근이라 그래프가 x축을 뚫지 않고 접합니다. 이 점을 놓치면 x<0 쪽에도 넓이가 있다고 착각하거나 구간을 잘못 나누게 됩니다.
- ∫30f(x)dx=0은 x축 위아래 넓이가 같을 때만 성립하는 조건입니다. 0≤x≤a에서 f(x)≥0, a≤x≤3에서 f(x)≤0인 것을 먼저 확인한 뒤 사용하세요.
- 274a=24320에서 a를 구할 때 약분을 서두르다 실수하기 쉽습니다. 243=27×9, 20=4×5이므로 a=95입니다.