수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용(2) Level 3 3번

03
고난도

05 도함수의 활용(2)
삼차함수의 극대·극소
그래프와 부등식

출제의도

이 문항은 삼차함수가 극대가 되는 조건과 두 그래프의 위치 관계를 함께 다룰 수 있는지 확인합니다. 조건 (가)에서 a의 범위와 c=12−4b를 얻고, 조건 (나)를 그래프로 해석해 b의 값을 좁혀 가는 구조입니다.

핵심은 y=|f(x)|가 0

단계별 힌트

1단계 힌트를 먼저 읽고 직접 풀어보세요. 막히면 아래 버튼을 눌러 2단계, 3단계 힌트를 하나씩 열어 확인하면 됩니다.

힌트 1단계 · 먼저 떠올릴 개념

조건 (가)를 두 부분으로 나누어 보세요. f(0)=4+a, f(2)=a를 f(0)f(2)<0에 넣으면 a의 범위가 나오고, g(x)가 x=2에서 극대이면 g′(2)=0이므로 c를 b로 나타낼 수 있습니다.

힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요

c=12−4b를 대입하면 g′(x)=−(x−2)(3x−2b+6)으로 인수분해됩니다. 최고차항의 계수가 음수이므로 x=2가 극대가 되려면 다른 극점 x=2b−63은 2보다 작아야 합니다.

한편 −4<a<0이면 y=|f(x)|는 x=2−√−a에서 x축에 닿고, 이 점은 0과 2 사이에 있습니다. 만약 g(x)가 0<x<2에서 증가한다면 g(x)>0이 되어 조건 (나)가 깨집니다. 그렇다면 2b−63은 어디에 있어야 할까요?

힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요

0<2b−63<2에서 정수 b는 두 개만 남습니다. 각각에 대해 g(x)를 인수분해해 x>0에서 g(x)≤0인지 확인하세요. 그다음 g(2)−|f(2)|를 a, b로 나타내면 됩니다. a<0이므로 |f(2)|=|a|=−a라는 점에 주의하세요.

정답 확인 누르면 정답이 보여요

정답 ⑤ −7

상세 해설

수능특강 수학Ⅱ 도함수의 활용(2) Level 3 3번 상세 해설 1

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP Af(0)f(2)<0으로 a의 범위 구하기

f(0)=4+a, f(2)=a이므로 a(4+a)<0에서 −4<a<0입니다. a는 정수이므로 a=−3, −2, −1 중 하나입니다.

STEP Bx=2에서 극대 조건으로 c를 b로 나타내기

g′(x)=−3x²+2bx+c이고 g′(2)=−12+4b+c=0이므로 c=12−4b입니다. 이를 대입하면 g′(x)=−(x−2)(3x−2b+6)이므로 g′(x)=0의 해는 x=2 또는 x=2b−63입니다.

STEP C조건 (나)로 다른 극점의 위치 정하기

x=2에서 극대이려면 2b−63<2여야 합니다. 또 2b−63≤0이면 g(x)는 0<x<2에서 증가하므로 g(x)>0입니다. 그런데 |f(x)|는 x=2−√−a(0과 2 사이)에서 0이므로 부등식이 깨집니다. 따라서 0<2b−63<2, 즉 3<b<6이고 b=4 또는 b=5입니다.

STEP Db=4, b=5가 조건 (나)를 만족하는지 확인하기

b=4이면 c=−4이고 g(x)=−x(x−2)²이므로 x>0에서 g(x)≤0입니다. b=5이면 c=−8이고 g(x)=−x{(x−52)²+74}이므로 x>0에서 g(x)<0입니다. 두 경우 모두 |f(x)|≥0≥g(x)이므로 조건 (나)가 성립합니다.

STEP Eg(2)−|f(2)|의 최솟값 구하기

|f(2)|=|a|=−a입니다. b=4일 때 g(2)=0이므로 g(2)−|f(2)|=a이고, b=5일 때 g(2)=−4이므로 g(2)−|f(2)|=a−4입니다. 가장 작은 값은 b=5, a=−3일 때 −3−4=−7이므로 정답은 ⑤입니다.

1등급 다른 풀이 · 판별식 한 번으로 확인하고 일차식으로 최솟값 잡기

c=12−4b를 대입하면 g(x)=−x(x²−bx+4b−12)입니다. x>0에서 g(x)≤0이려면 괄호 안의 이차식이 x>0에서 0 이상이면 충분합니다. 이 이차식의 판별식은 D=b²−4(4b−12)=b²−16b+48=(b−4)(b−12)이고, b=4, 5이면 D≤0이므로 괄호 안은 항상 0 이상입니다. 완전제곱식을 따로 만들지 않고도 두 경우를 한 번에 확인할 수 있습니다. 특히 b=4는 D=0인 경계로, g(x)의 그래프가 x=2에서 x축에 접하는 경우입니다.

또 g(2)=−8+4b+2c=−8+4b+2(12−4b)=16−4b이므로 구하는 식은 g(2)−|f(2)|=16−4b+a로, a와 b에 대한 일차식입니다. 값을 줄이려면 a는 가장 작게, b는 가장 크게 잡으면 되므로 a=−3, b=5를 넣어 16−20−3=−7을 바로 얻습니다. 순서쌍 6개를 모두 나열하지 않아도 됩니다.

실수를 줄이는 전략

g(x)의 최고차항의 계수가 음수이므로 두 극점 중 큰 쪽이 극대입니다. x=2가 극대이려면 다른 극점 2b−63이 2보다 작아야 하는데, 이 방향을 거꾸로 잡으면 b의 범위가 완전히 틀어집니다.
2b−63≤0인 경우를 빼는 이유를 꼭 짚으세요. 이때 g(x)는 0<x<2에서 양수인데, |f(x)|는 x=2−√−a에서 0이 되므로 그 점에서 |f(x)|<g(x)가 됩니다.
a<0이므로 |f(2)|=|a|=−a입니다. 절댓값을 그대로 a로 두면 부호가 뒤집혀 최솟값이 전혀 다른 값으로 나옵니다.
해설 그래프에서 g(2)=0처럼 보이는 것은 b=4인 경우입니다. g(2)=16−4b로 b에 따라 달라지므로, 그림 하나만 보고 b=4에서 멈추면 더 작은 값을 주는 b=5를 놓칩니다.
−4<a<0에서 a는 정수이므로 a=−3, −2, −1입니다. 최솟값은 a가 가장 작은 −3일 때 나오며, 끝점 −4는 포함되지 않는다는 점도 확인하세요.

엄선된 풀이 영상

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