빈출 유형
닫힌구간에서 최대·최소
극값 위치에 따른 경우 나누기
출제의도
이 문항은 닫힌구간에서 삼차함수의 최솟값을 구할 때, 극소가 되는 점이 구간 안에 있는지 밖에 있는지에 따라 경우를 나눌 수 있는지 확인합니다. 미정계수 a가 극값의 위치를 바꾸기 때문에 “최솟값이 어디서 나오는가”를 먼저 판단해야 합니다.
도함수를 인수분해해 극값을 갖는 x의 값 −2a, a를 찾고, 0<a≤1과 a>1로 나누어 최솟값을 식으로 세운 뒤 각 경우의 조건과 맞는지 검토하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
닫힌구간에서 연속함수의 최솟값은 극솟값이나 구간의 양 끝 값 중에서 나옵니다. 먼저 f′(x)를 구해 극값을 갖는 x의 값이 어디인지 찾아보고, 그 점이 구간 [0, 1] 안에 들어오는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f′(x)=6x2+6ax−12a2=6(x+2a)(x−a)이므로 x=−2a에서 극대, x=a에서 극소입니다. a>0이므로 −2a는 구간 밖에 있고, 구간 [0, 1]에서 f(x)는 x=a까지 감소하다가 그 뒤로 증가합니다.
따라서 극소점 x=a가 구간 안에 있는 경우(0<a≤1)와 구간 오른쪽 밖에 있는 경우(a>1)로 나누어야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
0<a≤1이면 최솟값은 f(a), a>1이면 [0, 1]에서 계속 감소하므로 최솟값은 f(1)입니다. 각각을 −13으로 놓고 a를 구한 다음, 구한 값이 처음 가정한 a의 범위를 만족하는지 반드시 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 54
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A도함수로 극값의 위치 찾기
f′(x)=6(x+2a)(x−a)=0에서 x=−2a 또는 x=a입니다. x=−2a에서 극대, x=a에서 극소이고, a>0이므로 −2a<0<a입니다. 즉 구간 [0, 1]에서는 x=a를 기준으로 감소에서 증가로 바뀝니다.
STEP B0<a≤1일 때: 최솟값 f(a)
극소점이 구간 안에 있으므로 최솟값은 f(a)=2a3+3a3−12a3=−7a3입니다. −7a3=−13에서 a3=137>1이므로 a≤1이라는 가정에 맞지 않습니다.
STEP Ca>1일 때: 최솟값 f(1)
구간 [0, 1] 전체에서 f(x)가 감소하므로 최솟값은 f(1)=2+3a−12a2입니다. 2+3a−12a2=−13에서 4a2−a−5=0, (a+1)(4a−5)=0입니다. a>1이므로 a=54이고, 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 극솟값의 크기로 경우를 먼저 잘라내기
0<a≤1일 때의 최솟값은 −7a3인데, a≤1이면 a3≤1이므로 −7a3≥−7입니다. 즉 이 경우에는 최솟값이 아무리 작아도 −7보다 작아질 수 없어서 −13이 될 수 없다는 것을 계산 없이 판단할 수 있습니다.
따라서 곧바로 a>1인 경우만 남고, f(1)=−13 한 식만 풀면 a=54가 나옵니다. 경우를 나눌 때 “이 경우에 최솟값이 가질 수 있는 범위”를 먼저 보면 불필요한 계산을 줄일 수 있습니다. 선택지 중 1보다 큰 값이 54, 32, 74뿐이라는 점도 검산의 단서가 됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 극소점 x=a가 항상 구간 안에 있다고 가정하고 f(a)=−13만 풀면 a3=137에서 막히게 됩니다. 미정계수가 극값의 위치를 바꾸면 반드시 구간과의 위치 관계로 경우를 나누세요.
- f(a)를 계산할 때 −12a2·a=−12a3을 놓치면 극솟값이 틀어집니다. 2+3−12=−7이므로 f(a)=−7a3입니다.
- 각 경우에서 구한 a가 그 경우의 범위를 만족하는지 확인하는 단계를 빼먹지 마세요. (a+1)(4a−5)=0에서 a=−1은 a>0, a>1 조건에 맞지 않아 제외됩니다.
- x=−2a는 극대점이지만 a>0이므로 구간 [0, 1] 밖에 있습니다. 구간 밖의 극값은 최대·최소 판단에 쓰지 않습니다.
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