빈출 유형
두 점의 속도 비교
선분의 중점의 위치
출제의도
이 문항은 두 점의 위치를 각각 미분해 속도를 구하고, “두 속도가 같아지는 순간”을 방정식으로 바꿀 수 있는지 확인합니다. 구한 시각에서 두 점의 위치를 계산한 뒤 선분의 중점의 위치까지 이어서 구합니다.
v1=v2로 만든 이차방정식에서 t≥0 조건으로 시각을 하나로 확정하는 것이 핵심이고, 분수가 섞인 x2를 정확히 계산하는 것도 중요합니다.
단계별 힌트
주어진 식 x1, x2는 두 점의 위치입니다. “속도가 같아지는 순간”을 식으로 나타내려면 먼저 두 점의 속도를 각각 구해야 합니다. 위치에서 속도를 얻는 방법을 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x1, x2를 각각 t에 대하여 미분하면 두 점의 속도 v1, v2가 나옵니다. v1=v2로 놓은 방정식을 풀면 속도가 같아지는 시각을 얻습니다.
이차방정식의 해가 두 개 나오더라도 문제의 조건 t≥0을 확인해 알맞은 시각 하나만 남기세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
구한 시각을 x1, x2의 식에 각각 대입해 두 점의 위치를 구합니다. 선분 PQ의 중점의 위치는 두 위치의 평균 x1+x22입니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 2
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A두 점의 속도 구하기
v1=dx1dt=3t2+2t−12, v2=dx2dt=t2+t−2입니다.
STEP B속도가 같아지는 시각 구하기
3t2+2t−12=t2+t−2에서 2t2+t−10=0, 즉 (2t+5)(t−2)=0입니다. t≥0이므로 t=2입니다.
STEP C두 점의 위치와 중점 계산하기
t=2일 때 x1=8+4−24+15=3, x2=83+2−4+13=1입니다. 따라서 선분 PQ의 중점의 위치는 3+12=2이므로 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 두 점 사이의 거리로 해석하기
두 점의 위치의 차 f(t)=x1−x2를 생각하면 f′(t)=v1−v2=2t2+t−10=(2t+5)(t−2)입니다. 즉 “두 점의 속도가 같아지는 순간”은 f′(t)=0인 순간, 곧 두 점 사이의 위치의 차가 극값을 갖는 순간입니다.
0≤t<2에서 f′(t)<0, t>2에서 f′(t)>0이므로 t=2에서 f(t)는 극소이고, 이때 f(2)=3−1=2입니다. 이렇게 보면 t=2는 앞서 달리던 점 P와 점 Q 사이의 간격이 가장 좁아지는 순간이라는 의미를 갖습니다. Level 2 이상에서 “두 점 사이의 거리가 최소인 순간”을 물으면 이 해석으로 곧바로 속도가 같아지는 조건을 세울 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- (2t+5)(t−2)=0에서 t=−52도 해로 나오지만, 문제에서 t≥0이라고 했으므로 버려야 합니다. 조건을 확인하지 않으면 시각을 두 개로 착각할 수 있습니다.
- x2를 계산할 때 13t3에 t=2를 넣으면 83, 12t2에 넣으면 2입니다. 분수 계수를 거듭제곱과 섞어 계산하다 실수하기 쉬우니 항별로 나누어 계산하세요.
- 중점의 위치는 두 위치의 평균 x1+x22입니다. 두 위치의 차 x1−x2=2와 헷갈리지 않도록 무엇을 묻는지 확인하세요. 이 문항은 우연히 두 값이 같지만 다른 문항에서는 다릅니다.
- 시각 t=2와 답 2가 같은 것도 우연입니다. t를 구한 뒤 바로 답으로 고르지 말고, 반드시 위치를 계산해 중점까지 구하세요.