빈출 유형
속도와 위치
수직선 위를 움직이는 점
출제의도
이 문항은 “위치를 시각 t에 대하여 미분하면 속도가 된다”는 수직선 위 점의 운동의 기본 관계를 적용할 수 있는지 확인합니다. 위치 x를 미분해 속도 v를 구하고, v=2가 되는 시각을 찾아 그 시각의 위치를 계산합니다.
속도에 대한 조건으로 시각을 먼저 구하고, 그 시각을 다시 위치의 식에 대입하는 두 단계 흐름이 핵심입니다. 조건은 속도에 걸려 있고 묻는 것은 위치라는 점을 구분해야 합니다.
단계별 힌트
문제에 주어진 식은 속도가 아니라 위치 x입니다. 위치와 속도 사이에는 어떤 관계가 있는지, 위치의 식에서 속도의 식을 얻으려면 무엇을 해야 하는지 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
속도는 v=dxdt이므로 위치 x=t3−3t2+5t+1을 t에 대하여 미분하면 속도의 식을 얻습니다.
이 속도의 식을 2로 놓은 방정식을 풀면 “속도가 2인 순간”의 시각 t가 결정됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
방정식을 정리하면 완전제곱식이 되어 시각이 하나로 정해집니다. 그 시각을 속도의 식이 아니라 처음 주어진 위치 x의 식에 대입해야 답이 나옵니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A위치를 미분해 속도 구하기
점 P의 시각 t에서의 속도는 v=dxdt=3t2−6t+5입니다.
STEP B속도가 2인 시각 구하기
3t2−6t+5=2에서 3t2−6t+3=0, 즉 t2−2t+1=0입니다. (t−1)2=0이므로 t=1입니다.
STEP C그 시각의 위치 계산하기
t=1을 위치의 식에 대입하면 x=1−3+5+1=4이므로 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 속도를 완전제곱식으로 보기
속도의 식을 처음부터 완전제곱식 꼴로 바꾸면 v=3t2−6t+5=3(t−1)2+2입니다. 3(t−1)2≥0이므로 속도는 항상 2 이상이고, 속도가 정확히 2가 되는 순간은 t=1 한 번뿐이라는 것을 방정식을 풀지 않고도 바로 알 수 있습니다.
즉 “속도가 2인 순간”은 속도가 최소가 되는 순간과 같습니다. 이 관점은 Level 2 이상에서 “속도가 최소인 순간”, “운동 방향이 바뀌지 않는다” 같은 조건을 다룰 때 그대로 쓰입니다. 여기서도 속도가 항상 양수이므로 점 P는 운동 방향을 바꾸지 않고 한 방향으로만 움직인다는 사실까지 함께 읽어낼 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 조건은 속도에 걸려 있습니다. 위치의 식 t3−3t2+5t+1을 2로 놓고 푸는 실수를 하지 않도록, 먼저 미분해서 속도의 식을 만드세요.
- t=1을 구한 뒤 그대로 답으로 고르면 선택지 ①을 고르게 됩니다. 묻는 것은 시각이 아니라 위치이므로 반드시 위치의 식에 대입하세요.
- t=1을 속도의 식에 다시 대입하면 2가 나올 뿐입니다. 대입할 식은 처음 주어진 위치 x의 식입니다.
- 위치를 계산할 때 상수항 +1을 빠뜨려 3으로 답하는 실수가 있습니다. 1−3+5+1까지 네 항을 모두 더하세요.