빈출 유형
절댓값이 포함된 함수
실수 전체에서 증가할 조건
출제의도
이 문항은 절댓값 기호를 x=a를 기준으로 풀어 구간별 함수로 나타낸 뒤, 각 구간에서 도함수의 부호를 조사해 함수가 실수 전체에서 증가할 조건을 구할 수 있는지 확인합니다.
x<a인 부분은 도함수가 항상 양수라 조건이 필요 없고, 결국 x>a인 모든 x에서 3x2−1≥0이 성립하도록 a의 범위를 정하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
|x−a|는 x=a를 기준으로 부호가 바뀝니다. x<a일 때와 x≥a일 때로 나누어 절댓값 기호를 없애면, 각 구간에서 f(x)는 다항함수가 됩니다. 그다음 무엇을 조사해야 증가 여부를 판단할 수 있을지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x<a일 때 f(x)=x3+(x−a)이므로 f′(x)=3x2+1>0입니다. 이 구간은 a의 값과 관계없이 항상 증가합니다.
x>a일 때 f(x)=x3−(x−a)이므로 f′(x)=3x2−1입니다. f(x)는 x=a에서 연속이므로, x>a인 모든 x에서 f′(x)≥0이기만 하면 전체가 증가합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
3x2−1<0이 되는 x의 범위를 먼저 구하세요. 구간 (a, ∞)가 이 범위와 조금도 겹치지 않아야 하므로, a가 어디에 있어야 하는지 수직선 위에서 판단하면 a의 최솟값이 나옵니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② √33
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A절댓값 풀고 구간별 도함수 구하기
x<a일 때 f(x)=x3+(x−a), x≥a일 때 f(x)=x3−(x−a)입니다. 따라서 x<a일 때 f′(x)=3x2+1, x>a일 때 f′(x)=3x2−1입니다.
STEP Bx<a 구간은 저절로 증가함을 확인하기
x<a인 모든 x에서 f′(x)=3x2+1>0이므로 f(x)는 구간 (−∞, a)에서 증가합니다. 이 구간에서는 a에 대한 조건이 생기지 않습니다.
STEP Cx>a 구간의 조건으로 a의 최솟값 구하기
3x2−1=0에서 x=−√33 또는 x=√33이고, 두 값 사이에서 3x2−1<0입니다. x>a인 모든 x에서 3x2−1≥0이려면 a≥√33이어야 하므로 a의 최솟값은 √33이고, 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 꺾이는 점의 위치로 바로 판단하기
f(x)=x3−|x−a|는 y=x3에서 |x−a|를 뺀 함수입니다. x=a의 오른쪽에서는 기울기가 1인 x−a를 빼므로, y=x3의 접선의 기울기 3x2이 1보다 작은 곳이 x=a의 오른쪽에 있으면 그곳에서 f(x)가 감소하게 됩니다.
3x2<1인 구간은 −√33<x<√33이므로, 이 구간 전체가 x=a의 왼쪽(또는 경계)에 놓여야 합니다. 즉 꺾이는 점 x=a를 √33보다 오른쪽에 두어야 하므로 a≥√33이고, 최솟값은 √33입니다. 왼쪽에서는 기울기 1을 더하는 셈이라 3x2+1>0으로 항상 안전하다는 점까지 한 번에 보입니다.
실수를 줄이는 전략
- 절댓값을 풀 때 부호를 반대로 쓰는 실수가 많습니다. x<a일 때 |x−a|=−(x−a)이므로 f(x)=x3+(x−a)입니다.
- 경계에서만 확인해 3a2−1≥0으로 풀면 a≤−√33도 답에 섞입니다. 예를 들어 a=−1이면 x=0이 x>a에 포함되고 f′(0)=−1<0이므로 증가하지 않습니다. 조건은 x>a인 모든 x에서 성립해야 합니다.
- x<a 구간에도 조건이 필요하다고 착각하지 마세요. 3x2+1은 항상 양수이므로 이 구간은 a와 관계없이 증가합니다.
- a=√33일 때 f(x)는 x=a에서 미분가능하지 않지만 연속이고, 양쪽 구간에서 모두 증가하므로 실수 전체에서 증가합니다. 따라서 등호를 포함해 최솟값은 √33입니다.