빈출 유형
함수의 증가와 감소
삼차함수의 일대일대응
출제의도
이 문항은 “모든 실수 t에 대하여 그래프와 직선 y=t가 한 점에서만 만난다”는 조건을 “함수가 일대일대응이다”로 해석하고, 이를 다시 “도함수의 부호가 바뀌지 않는다”는 조건으로 옮길 수 있는지 확인합니다. 삼차함수가 실수 전체에서 증가하려면 이차함수인 도함수가 항상 0 이상이어야 하고, 이는 판별식 조건으로 정리됩니다.
문제에서는 f(x)=1이라고 x를 썼지만, f는 직선 y=t와의 교점의 개수를 나타내는 함수입니다. 즉 “모든 실수 t에 대하여 교점이 1개”라는 뜻으로 읽는 것이 출발점입니다.
단계별 힌트
f(t)는 직선 y=t와 그래프가 만나는 점의 개수입니다. 모든 실수에서 f의 값이 1이라는 것은 어떤 높이의 수평선을 그어도 그래프와 딱 한 번만 만난다는 뜻입니다. 이런 그래프를 가진 함수는 어떤 성질을 가질지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
모든 수평선과 한 번씩만 만나는 함수는 일대일대응입니다. 삼차함수가 일대일대응이려면 실수 전체에서 증가하거나 감소해야 하므로, 도함수 g′(x)의 부호가 바뀌지 않아야 합니다.
g(x)의 최고차항의 계수가 양수이므로 가능한 경우는 모든 실수 x에 대하여 g′(x)≥0인 경우뿐입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
g′(x)=3x2+2ax+2−a2가 항상 0 이상이려면 이차방정식 g′(x)=0의 판별식 D가 D≤0이어야 합니다. D4를 계산해 a2의 범위를 구한 뒤, √62가 대략 얼마인지 어림해서 정수 a를 세어 보세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A교점 조건을 일대일대응으로 해석하기
모든 실수 t에 대하여 교점의 개수가 1이므로 g(x)=x3+ax2+(2−a2)x는 일대일대응이어야 합니다. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수이므로 모든 실수 x에 대하여 g′(x)≥0이어야 합니다.
STEP B도함수의 판별식 조건 세우기
g′(x)=3x2+2ax+2−a2에서 D4=a2−3(2−a2)=4a2−6입니다. D≤0이어야 하므로 4a2−6≤0, 즉 a2≤32이고 −√62≤a≤√62입니다.
STEP C정수 a의 개수 세기
√62는 약 1.22이므로 조건을 만족시키는 정수 a는 −1, 0, 1이고, 그 개수는 3입니다. 따라서 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 완전제곱식으로 도함수의 최솟값 보기
g′(x)는 아래로 볼록한 이차함수이므로, 항상 0 이상이라는 조건은 “g′(x)의 최솟값이 0 이상”과 같습니다. 완전제곱식으로 바꾸면 g′(x)=3(x+a3)2+2−4a23이므로, 최솟값은 2−4a23입니다.
2−4a23≥0에서 a2≤32=1.5이고, 정수 a에 대하여 a2은 0 또는 1만 가능하므로 a=−1, 0, 1로 3개입니다. 무리수 √62를 어림할 필요 없이 a2의 값만으로 바로 셀 수 있어 실수가 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- 문제의 f(x)=1에서 x에 현혹되지 마세요. f는 t에 대한 교점의 개수 함수이므로, 이 조건은 “모든 실수 t에 대하여 교점이 1개”라는 뜻입니다.
- g′(x)≤0인 경우를 따로 조사할 필요는 없습니다. g′(x)는 이차항의 계수가 3인 아래로 볼록한 이차함수이므로 모든 실수에서 0 이하가 될 수 없습니다.
- 판별식 조건을 D<0으로 쓰면 안 됩니다. D=0이면 g′(x)=0인 점이 하나뿐이고 그 앞뒤에서 부호가 바뀌지 않으므로 g(x)는 여전히 증가합니다. 반드시 등호를 포함해 D≤0으로 쓰세요.
- D4=a2−3(2−a2)을 전개할 때 괄호 앞의 −3을 곱하면 +3a2가 된다는 점에 주의하세요. 결과는 4a2−6입니다.