빈출 유형
구간별로 정의된 함수의 미분가능성
연속 조건과 미분계수 조건
출제의도
이 문항은 구간별로 정의된 함수가 경계점에서 미분가능하려면 “연속”과 “좌미분계수=우미분계수” 두 조건을 모두 만족해야 한다는 사실을 적용할 수 있는지 확인합니다. 두 조건에서 이차함수 f(x)의 계수에 대한 식을 두 개 얻고, 이를 연립해 f(1)을 구합니다.
x<2 쪽이 f(x) 자체가 아니라 f(x)−f(3)이라는 점이 핵심입니다. 상수 f(3)을 빼는 것은 연속 조건에는 영향을 주지만, 미분계수에는 영향을 주지 않습니다.
단계별 힌트
x=2에서 미분가능하다는 조건은 두 가지 정보로 나뉩니다. 먼저 x=2에서 연속이어야 하고, 다음으로 x=2에서의 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다. 각 조건을 식으로 쓰면 무엇이 되는지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
연속 조건: x→2−일 때 g(x)는 f(2)−f(3)에 가까워지고, g(2)=4−2+1=3입니다. 따라서 f(2)−f(3)=3입니다.
미분계수 조건: x≥2 쪽 x2−x+1의 x=2에서의 미분계수는 3이고, x<2 쪽 f(x)−f(3)의 미분계수는 f′(2)와 같습니다(상수를 빼도 미분계수는 그대로입니다). 따라서 f′(2)=3입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(0)=3이므로 f(x)=ax2+bx+3으로 놓으세요. f(2)−f(3)=3과 f′(2)=4a+b=3을 각각 a, b에 대한 식으로 정리해 연립하면 f(x)가 결정됩니다. 마지막으로 구하는 값이 f(1)이라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 24
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A연속 조건으로 첫 번째 식 세우기
g(2)=22−2+1=3이고, limx→2−g(x)=f(2)−f(3)입니다. x=2에서 연속이므로 f(2)−f(3)=3입니다. f(x)=ax2+bx+3을 대입하면 (4a+2b+3)−(9a+3b+3)=3, 즉 5a+b=−3입니다.
STEP B좌우 미분계수가 같다는 조건으로 두 번째 식 세우기
우미분계수는 limx→2+(x2−x+1)−3x−2=limx→2+(x−2)(x+1)x−2=3입니다. 좌미분계수는 limx→2−f(x)−f(3)−3x−2=limx→2−f(x)−f(2)x−2=f′(2)입니다. 따라서 f′(2)=3이고, f′(x)=2ax+b이므로 4a+b=3입니다.
STEP C연립해서 f(1) 구하기
5a+b=−3, 4a+b=3을 연립하면 a=−6, b=27입니다. f(x)=−6x2+27x+3이므로 f(1)=−6+27+3=24, 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 이차함수의 평균변화율 성질 이용
연속 조건 f(2)−f(3)=3은 f(3)−f(2)=−3, 즉 구간 [2, 3]에서의 평균변화율이 −3이라는 뜻입니다. 이차함수 f(x)=ax2+bx+c에서는 f(q)−f(p)q−p=a(p+q)+b=f′(p+q2)가 성립하므로, 구간의 평균변화율은 구간 중점에서의 미분계수와 같습니다.
따라서 f′(52)=−3이고, 미분계수 조건에서 f′(2)=3입니다. f′(x)는 일차함수이므로 기울기 2a=−3−352−2=−12, 곧 a=−6입니다. f′(2)=−24+b=3에서 b=27이므로 f(1)=−6+27+3=24입니다. f(2), f(3)을 전개해서 빼는 계산을 생략할 수 있어 실수가 줄어듭니다.
실수를 줄이는 전략
- 연속 조건을 f(2)=3으로 쓰는 실수가 가장 흔합니다. x<2에서 g(x)는 f(x)−f(3)이므로 연속 조건은 f(2)−f(3)=3입니다.
- 연속만 확인하고 미분계수 조건을 빠뜨리면 미지수 a, b에 대한 식이 하나뿐이라 답이 정해지지 않습니다. 경계점에서의 미분가능성은 항상 “연속 + 좌우 미분계수 일치” 두 식으로 쓰세요.
- 좌미분계수를 구할 때 −f(3)은 상수이므로 미분계수에 영향을 주지 않습니다. 좌미분계수는 그대로 f′(2)입니다.
- f(0)=3이라는 조건에서 상수항이 3으로 정해집니다. f(1)을 계산할 때 상수항 3을 빠뜨리지 않도록 마지막에 f(x)=−6x2+27x+3 전체에 x=1을 대입하세요.
엄선된 풀이 영상
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