빈출 유형
미분계수의 정의
극한값을 이용한 미정계수
출제의도
이 문항은 분모에 f(x)가 들어 있는 극한식을 역수로 뒤집어 미분계수의 정의 꼴로 바꿀 수 있는지 확인합니다. 뒤집은 식에서 “분모가 0으로 가고 극한값이 존재하면 분자도 0으로 간다”는 원리로 f(1)을 구하고, 같은 식을 미분계수의 정의로 읽어 f′(1)을 구합니다.
f(1)=4와 f′(1)=2라는 두 조건이 미지수 a, b를 결정하는 두 개의 식이 된다는 것을 알아차리는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
주어진 극한식은 f(x)가 분모에 있어 미분계수의 정의 꼴과 위아래가 반대입니다. 극한값 12이 0이 아니므로 식을 뒤집어도 극한값이 존재합니다. f(x)−4x−1의 극한값은 얼마인지 먼저 구해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
limx→1f(x)−4x−1=2에서 분모 x−1이 0으로 가고 극한값이 존재하므로 분자도 0으로 가야 합니다. 이차함수 f(x)는 연속이므로 f(1)=4입니다.
f(1)=4를 대입하면 이 식은 limx→1f(x)−f(1)x−1=2, 즉 미분계수의 정의에 의해 f′(1)=2라는 뜻이 됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
f(1)=1+a+b=4, f′(x)=2x+a에서 f′(1)=2+a=2입니다. 이 두 식으로 a, b를 구한 뒤 f(x)를 완성하고, 마지막으로 구하는 값이 f(−1)이라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A역수를 취해 미분계수 꼴 만들기
limx→1f(x)−4x−1=1limx→1x−1f(x)−4=11/2=2입니다.
STEP B분자가 0으로 가는 조건과 미분계수의 정의 적용
x→1일 때 분모가 0으로 가고 극한값이 존재하므로 f(1)−4=0, 즉 f(1)=4입니다. 따라서 1+a+b=4에서 a+b=3입니다. 또 이 극한은 미분계수의 정의에 의해 f′(1)=2이고, f′(x)=2x+a이므로 2+a=2에서 a=0, b=3입니다.
STEP Cf(−1) 계산하기
f(x)=x2+3이므로 f(−1)=1+3=4이고, 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 인수 꼴로 놓고 f(−1)을 바로
f(1)=4이므로 f(x)−4는 x−1을 인수로 가집니다. f(x)의 최고차항의 계수가 1이므로 처음부터 f(x)−4=(x−1)(x−k)로 놓을 수 있습니다.
그러면 f(x)−4x−1=x−k이므로 x→1일 때 극한값은 1−k=2, 즉 k=−1입니다. 따라서 f(x)−4=(x−1)(x+1)이고, x=−1을 대입하면 f(−1)−4=0이므로 f(−1)=4가 곧바로 나옵니다. a, b를 따로 구하지 않고 인수 x+1에서 답이 드러나기 때문에 계산이 훨씬 짧아집니다.
실수를 줄이는 전략
- 주어진 극한값 12을 그대로 f′(1)로 쓰는 실수가 많습니다. 주어진 식은 미분계수 꼴의 역수이므로 f′(1)은 12의 역수인 2입니다.
- 역수를 취해 극한을 구할 수 있는 것은 극한값 12이 0이 아니기 때문입니다. 극한값이 0이었다면 이렇게 뒤집을 수 없다는 점도 함께 기억하세요.
- f(1)=4 하나만으로는 a+b=3이라는 식밖에 얻을 수 없습니다. a, b를 모두 결정하려면 f′(1)=2라는 두 번째 조건을 반드시 함께 사용해야 합니다.
- 이 문항은 f(1)과 f(−1)이 모두 4로 같게 나옵니다. f(x)=x2+3이 y축에 대하여 대칭이기 때문인데, 우연히 맞힌 것인지 확인하려면 마지막에 x=−1을 직접 대입했는지 점검하세요.
엄선된 풀이 영상
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