빈출 유형
미분계수의 정의
극한식 변형
출제의도
이 문항은 미분계수의 정의 꼴이 그대로 보이지 않는 극한식을, f(1)을 빼고 더하는 변형으로 정의 꼴 두 개로 나눌 수 있는지 확인합니다. 주어진 식에는 f(1)이 없지만, 두 함숫값의 차를 각각 f(1)과의 차로 바꾸면 모두 f′(1)로 표현됩니다.
x2=t로 치환해 f(x2)−f(1) 부분을 f′(1)로 바꾸는 것과, 분모 x2−1을 (x−1)(x+1)로 인수분해해 남는 1x+1을 처리하는 것이 핵심입니다.
단계별 힌트
x=1에서의 미분계수는 f′(1)=limx→1f(x)−f(1)x−1입니다. 이 정의에는 반드시 f(1)이 들어 있습니다. 그런데 주어진 극한식의 분자 f(x2)−f(x)에는 f(1)이 없습니다. f(1)을 식에 등장시키려면 어떻게 해야 할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
분자에서 f(1)을 빼고 다시 더하면 식의 값은 변하지 않습니다. 즉 f(x2)−f(x)={f(x2)−f(1)}−{f(x)−f(1)}로 나누어 쓸 수 있습니다.
이렇게 나눈 뒤 앞부분은 분모 x2−1을 그대로 두고, 뒷부분은 분모를 (x−1)(x+1)로 인수분해해 두 개의 극한으로 각각 계산합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
앞부분 f(x2)−f(1)x2−1은 x2=t로 놓으면 x→1일 때 t→1이므로 f′(1)이 됩니다. 뒷부분은 f′(1)에 limx→11x+1을 곱한 값입니다. 두 결과의 차를 12로 놓고 f′(1)을 구하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ④ 24
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Af(1)을 빼고 더해 극한식 나누기
분자를 {f(x2)−f(1)}−{f(x)−f(1)}로 바꾸고, 뒷부분의 분모 x2−1을 (x−1)(x+1)로 인수분해합니다. 그러면 주어진 극한은 limx→1f(x2)−f(1)x2−1−limx→1f(x)−f(1)x−1×limx→11x+1로 나뉩니다.
STEP B각 극한을 f′(1)로 나타내기
x2=t로 놓으면 x→1일 때 t→1이므로 앞부분은 limt→1f(t)−f(1)t−1=f′(1)입니다. 뒷부분은 f′(1)×12입니다. 따라서 주어진 극한은 f′(1)−12f′(1)=12f′(1)입니다.
STEP C조건식으로 f′(1) 구하기
12f′(1)=12이므로 f′(1)=24이고, 정답은 ④입니다.
1등급 다른 풀이 · 일차함수로 빠르게 검산하기
본풀이에서 확인했듯이 주어진 극한값은 오직 f′(1)에 의해서만 결정되고, 그 결과는 f′(1)의 상수배입니다. 따라서 f′(1)=k인 가장 간단한 함수 f(x)=kx를 넣어 보면 배수를 빠르게 확인할 수 있습니다.
f(x)=kx이면 kx2−kxx2−1=kx(x−1)(x−1)(x+1)=kxx+1이므로 x→1일 때 극한값은 k2입니다. k2=12에서 k=24로 본풀이와 같은 결과가 나옵니다. 구조적으로 보면 분자의 두 안쪽 함수 x2, x의 x=1에서의 미분계수 차 2−1=1을 분모 x2−1의 미분계수 2로 나눈 12이 f′(1)에 곱해지는 것입니다. 이 방법은 검산용으로 쓰고, 서술형이나 논술에서는 본풀이처럼 f(1)을 빼고 더하는 과정을 반드시 보여 주어야 합니다.
실수를 줄이는 전략
- 분자가 f(x2)−f(x)라고 해서 곧바로 f′(1)이라고 쓰면 안 됩니다. 미분계수의 정의 꼴은 반드시 “f(□)−f(1)”과 “□−1”이 짝을 이루어야 합니다.
- 뒷부분을 f′(1)로만 쓰고 1x+1의 극한 12을 빠뜨리면 f′(1)−f′(1)=0이 되어 답을 구할 수 없습니다. 분모 x2−1과 x−1의 차이를 꼭 확인하세요.
- x2=t로 치환할 때는 t가 어디로 가는지 함께 바꿔야 합니다. x→1이면 t=x2→1이므로 극한의 기준점이 그대로 1입니다.
- 마지막 식 12f′(1)=12에서 12를 2로 나누어 f′(1)=6으로 쓰는 실수가 있습니다. 양변에 2를 곱해야 하므로 f′(1)=24입니다.
엄선된 풀이 영상
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