빈출 유형
점과 직선 사이의 거리
접선의 기울기와 미분계수
출제의도
이 문항은 점과 직선 사이의 거리 공식으로 함수 f(t)를 세우고, 그 제곱으로 만든 다항함수 g(x)의 미분계수를 구할 수 있는지 확인합니다. 곡선 y=g(x) 위의 점 (−1, 5)에서의 접선의 기울기는 곧 미분계수 g′(−1)입니다.
곡선이 점 (−1, 5)를 지난다는 조건 g(−1)=5로 미정계수 a를 먼저 결정하고, 그다음 도함수를 구해 x=−1을 대입하는 두 단계 구조가 핵심입니다.
단계별 힌트
점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰려면 직선을 ax+by+c=0 꼴로 바꿔야 합니다. 직선 y=2x를 이 꼴로 고치고, 점 P(t, −t2+2t+a)를 대입해 f(t)를 t와 a로 나타내 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
거리 f(t)에는 절댓값이 들어가지만, g(x)=(f(x))2으로 제곱하면 절댓값이 사라져 g(x)는 다항함수가 됩니다.
곡선 y=g(x)가 점 (−1, 5)를 지나므로 g(−1)=5입니다. 이 식에서 a의 값이 두 개 나오는데, 문제의 조건 “양수 a”로 하나를 고르세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a를 대입한 g(x)를 전개해 도함수 g′(x)를 구한 뒤 x=−1을 대입하면 접선의 기울기가 나옵니다. 구하는 값은 g(−1)=5가 아니라 g′(−1)이라는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ② 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A거리 공식으로 f(t)와 g(x) 세우기
직선 y=2x를 2x−y=0으로 바꾸면 f(t)=|2t−(−t2+2t+a)|√5=|t2−a|√5입니다. 제곱하면 절댓값이 사라지므로 g(x)=(x2−a)25입니다.
STEP Bg(−1)=5로 a 구하기
g(−1)=(1−a)25=5에서 (1−a)2=25이므로 a=−4 또는 a=6입니다. a는 양수이므로 a=6입니다.
STEP C도함수를 구해 접선의 기울기 g′(−1) 계산하기
g(x)=x4−12x2+365이므로 g′(x)=4x3−24x5입니다. 따라서 g′(−1)=−4+245=4이고, 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 곱의 미분법으로 전개 없이
g(x)=15(x2−6)(x2−6)으로 보고 곱의 미분법을 쓰면 전개하지 않고도 도함수를 구할 수 있습니다. g′(x)=15{2x(x2−6)+(x2−6)·2x}=4x(x2−6)5입니다.
여기에 x=−1을 대입하면 g′(−1)=4×(−1)×(−5)5=4가 곧바로 나옵니다. 인수 꼴을 유지하면 부호 계산이 간단해지고, 사차식을 전개하다가 생기는 계수 실수도 막을 수 있습니다. 참고로 미적분에서 합성함수의 미분법을 배우면 g′(x)=2(x2−6)·2x5로 한 줄에 쓸 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 거리 공식은 직선을 ax+by+c=0 꼴로 바꾼 뒤에 적용해야 합니다. y=2x를 2x−y=0으로 쓰면 분모는 √5입니다.
- 절댓값 안에서 2t−(−t2+2t+a)의 괄호를 풀 때 부호를 놓치기 쉽습니다. 괄호 앞 −를 모든 항에 곱하면 t2−a가 됩니다.
- (1−a)2=25에서 a=−4, a=6 두 값이 나옵니다. “양수 a” 조건을 확인하지 않으면 a=−4로 계산해 엉뚱한 답이 나옵니다.
- (x2−6)2을 전개할 때 가운데 항 −12x2을 빠뜨리지 않도록 주의하세요. 전개가 불안하면 위의 곱의 미분법으로 계산하는 것이 안전합니다.
- 구하는 값은 접선의 기울기 g′(−1)입니다. 점의 y좌표 5는 a를 결정하는 데 이미 쓴 조건이므로, 선택지 ④ 5를 고르는 실수를 조심하세요.