빈출 유형
미분가능성과 연속성
구간별로 정의된 함수
출제의도
이 문항은 “함수가 x=a에서 미분가능하면 x=a에서 연속이다”라는 성질을 이용해 미정계수를 결정할 수 있는지 확인합니다. x=1에서의 연속 조건으로 a의 후보를 먼저 구하고, 미분계수의 정의로 f′(1)을 계산해 조건 f′(1)>5에 맞는 값을 고릅니다.
연속 조건에서 a가 두 개 나오기 때문에, 후보마다 f′(1)을 확인해 조건을 만족시키는 하나만 남기는 과정이 핵심입니다.
단계별 힌트
f(x)는 x=1에서만 따로 정의된 함수입니다. x=1에서 미분가능하다는 조건에서 가장 먼저 얻을 수 있는 성질은 무엇일까요? 미분가능성과 연속성의 관계를 떠올려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
미분가능하면 연속이므로 limx→1f(x)=f(1)이어야 합니다. limx→1(ax2+2ax)=3a이고 f(1)=a2+2이므로 a에 대한 이차방정식이 나옵니다.
a의 값이 두 개 나오면 각각에 대해 f′(1)=limx→1f(x)−f(1)x−1을 계산해 f′(1)>5인지 확인하세요.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
a2−3a+2=0을 인수분해해 두 후보를 구하고, 각 후보에서 분자를 (x−1)로 인수분해해 약분하면 f′(1)이 나옵니다. 조건에 맞는 a를 고른 뒤 f(a)를 계산할 때, a가 1이 아니면 위쪽 식 ax2+2ax에 대입해야 한다는 점을 확인하세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ⑤ 16
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A연속 조건으로 a의 후보 구하기
f(x)가 x=1에서 미분가능하므로 x=1에서 연속입니다. limx→1f(x)=3a, f(1)=a2+2에서 3a=a2+2, 즉 (a−1)(a−2)=0이므로 a=1 또는 a=2입니다.
STEP B후보마다 f′(1)을 계산해 조건 확인하기
a=1이면 f′(1)=limx→1x2+2x−3x−1=limx→1(x+3)=4로 f′(1)<5이므로 조건을 만족시키지 않습니다. a=2이면 f′(1)=limx→12x2+4x−6x−1=limx→12(x+3)=8로 f′(1)>5를 만족시킵니다.
STEP Cf(a) 계산하기
a=2이므로 f(a)=f(2)이고, x=2는 x≠1인 범위이므로 f(2)=2×22+4×2=16입니다. 따라서 정답은 ⑤입니다.
1등급 다른 풀이 · 다항식의 도함수로 f′(1)을 한 번에
연속 조건 3a=a2+2가 성립하면 f(1)의 값이 다항식 g(x)=ax2+2ax의 x=1에서의 함숫값 3a와 같아지므로, f(x)는 x=1 근처에서 g(x)와 완전히 같은 함수가 됩니다. 따라서 f′(1)=g′(1)이고, g′(x)=2ax+2a에서 f′(1)=4a입니다.
조건 f′(1)>5에서 4a>5, 즉 a>54이므로 후보 1, 2 중 a=2만 남습니다. 후보마다 극한을 따로 계산하지 않고 한 번에 판정할 수 있어 시간이 단축됩니다. 단, 이 방법은 연속 조건을 먼저 확인한 뒤에만 쓸 수 있다는 점에 주의하세요.
실수를 줄이는 전략
- 연속 조건에서 a=1, a=2가 모두 나오지만 둘 다 답이 되는 것은 아닙니다. f′(1)>5 조건을 확인하지 않고 a=1을 고르면 f(1)=3처럼 선택지에 없는 값이 나옵니다.
- 미분가능하면 연속이지만, 연속이라고 해서 항상 미분가능한 것은 아닙니다. 연속 조건은 후보를 찾는 필요조건이고, 실제 미분계수는 따로 확인해야 합니다.
- f′(1)을 정의로 계산할 때 f(1)은 아래쪽 식 a2+2의 값입니다. 위쪽 식에 x=1을 대입한 값과 같아지는 것은 연속 조건을 적용했기 때문이라는 점을 기억하세요.
- f(a)=f(2)를 구할 때 a2+2=6을 쓰면 안 됩니다. a2+2는 x=1일 때의 함숫값이고, x=2일 때는 위쪽 식 2x2+4x에 대입해야 합니다.