고난도
곱함수의 연속
개수로 정의된 계단함수
출제의도
이 문항은 “정수의 개수”로 정의된 함수 g(t)를 계단함수로 해석하고, 연속함수 f(x)와 불연속함수 g(x)의 곱이 어디에서 연속이 되는지 판단할 수 있는지 확인합니다. 조건 (가)로 이차함수 f(x)의 개형과 대칭축의 범위를 좁히고, 조건 (나)로 f(x)의 식을 확정하는 두 단계 구조입니다.
핵심은 “g(x)가 x=β에서 불연속일 때 f(x)g(x)가 x=β에서 연속이려면 f(β)=0이어야 한다”는 성질입니다. 이 성질을 불연속점 −2, −1, 0, 1에 하나씩 적용해 f(x)의 근을 찾아내는 것이 문항의 중심입니다.
단계별 힌트
g(t)는 정수의 개수이므로 t가 정수를 지날 때만 값이 바뀌는 계단 모양의 함수입니다. 조건 (가) limx→1−g(x)=3은 t가 1보다 조금 작을 때, 즉 0 이하의 정수 중에서 f(x)≤f(1)을 만족시키는 것이 3개라는 뜻입니다. x≤1에서 f(x)가 감소하는 경우와 증가하는 부분이 있는 경우를 나누어 그래프를 그려 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
x≤1에서 f(x)가 감소하면 0 이하의 정수에서는 항상 f(x)>f(1)이므로 좌극한이 0이 됩니다. 따라서 꼭짓점은 x=1보다 왼쪽에 있고, f(x)≤f(1)을 만족시키는 x는 대칭축을 기준으로 한 구간입니다. 이 구간에 정수 0, −1, −2는 들어가고 −3은 들어가지 않아야 합니다.
이렇게 g(t)를 구하면 g(t)는 t=−2, −1, 0, 1에서만 불연속입니다. g(x)가 x=β에서 불연속일 때 f(x)g(x)가 x=β에서 연속이려면 좌극한과 우극한에 모두 f(β)가 곱해져 같아져야 하므로 f(β)=0이어야 합니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
조건 (나)에서 불연속점 α1, α2는 모두 0이 아니므로 f(x)g(x)는 x=0에서 연속이고, 따라서 f(0)=0입니다. 또 −2, −1, 1 중 정확히 하나에서만 f의 값이 0이어야 합니다. 대칭축의 범위를 이용해 f(−2), f(−1), f(1) 중 어느 것이 0이 될 수 있는지 판단하고, f(x)를 확정한 뒤 f(−1)의 값을 g에 넣어 보세요.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ③ 3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가)로 그래프 개형 정하기
x≤1에서 f(x)가 감소하면 t<1일 때 g(t)=0이 되어 limx→1−g(x)=0이므로 조건 (가)에 맞지 않습니다. 따라서 꼭짓점은 x=1의 왼쪽에 있고, 0 이하의 정수 중 f(x)≤f(1)인 것이 0, −1, −2의 3개여야 하므로 f(−2)≤f(1)<f(−3)입니다.
STEP Bg(t)를 계단함수로 쓰기
t<−2이면 0, −2≤t<−1이면 1, −1≤t<0이면 2, 0≤t<1이면 3, t≥1이면 4입니다. 즉 g(x)는 x=−2, −1, 0, 1에서만 불연속이고, 연속함수 f(x)와의 곱 f(x)g(x)는 이 네 점을 제외한 곳에서 모두 연속입니다.
STEP C곱함수가 연속이 되는 조건 찾기
g(x)가 x=β에서 불연속이면 좌극한과 우극한이 다릅니다. f(x)g(x)의 좌극한은 f(β)×limx→β−g(x), 우극한은 f(β)×limx→β+g(x)이므로, 두 값이 같으려면 f(β)=0이어야 합니다.
STEP D조건 (나)로 f(x) 확정 후 g(f(−1)) 계산
불연속점 α1, α2가 0이 아니므로 x=0에서는 연속이고 f(0)=0입니다. 나머지 −2, −1, 1 중 하나에서만 f의 값이 0이어야 하는데, f(−2)=f(1)인 경우 대칭축이 x=−12이므로 f(−1)=f(0)=0, f(−2)=f(1)>0이 되어 조건을 만족시킵니다. f(−2)<f(1)<f(−3)인 경우에는 f(−1)<0<f(−2)<f(1)이 되어 세 값 모두 0이 아니므로 조건을 만족시키지 않습니다.
따라서 f(x)=x(x+1)이고, g(f(−1))=g(0)=3이므로 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · 근의 위치로 한 번에 좁히기
STEP C까지 얻었다면 경우를 그림으로 나누지 않고 식으로 바로 끝낼 수 있습니다. 먼저 f(0)=0이므로 f(x)=x(x−c)로 놓습니다. 대칭축은 x=c2이고, f(x)≤f(1)인 x의 범위는 c−1≤x≤1입니다. 이 구간에 −2는 들어가고 −3은 들어가지 않아야 하므로 −3<c−1≤−2, 즉 −2<c≤−1입니다.
이제 f(−2), f(−1), f(1) 중 하나만 0이어야 합니다. f(x)의 근은 0과 c뿐이고 c는 −2보다 크고 −1 이하이므로, 0이 될 수 있는 것은 c=−1일 때의 f(−1)뿐입니다. c≠−1이면 세 값이 모두 0이 아니어서 불연속점이 −2, −1, 1의 세 개가 되므로 조건 (나)에 맞지 않습니다. 따라서 c=−1, f(x)=x(x+1)이고 g(f(−1))=g(0)=3입니다. “곱함수의 연속 = 불연속점이 f의 근인지 확인”이라는 관점으로 보면 근의 범위만으로 답이 결정됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 조건 (가)를 g(1)=3으로 읽으면 안 됩니다. g(1)은 x=1까지 포함하므로 4이고, 좌극한 limx→1−g(x)는 x=1을 포함하지 않는 0 이하의 정수만 셉니다.
- f(x)≤f(1)을 만족시키는 정수를 셀 때 경계를 조심하세요. −2는 포함되어야 하므로 f(−2)≤f(1)(등호 가능), −3은 제외되어야 하므로 f(1)<f(−3)입니다. 등호 위치를 바꾸면 f(−2)=f(1)인 정답 경우를 놓칩니다.
- f(β)=0 조건은 g(x)가 불연속인 점 −2, −1, 0, 1에서만 따지면 됩니다. f(x)와 g(x)가 모두 연속인 점에서는 곱도 자동으로 연속입니다.
- “0이 아닌 두 실수 α1, α2“라는 표현에서 x=0에서의 연속, 즉 f(0)=0을 끌어내는 것이 이 문항의 출발점입니다. 이 조건을 흘려 읽으면 f(x)를 결정할 수 없습니다.
- 마지막 계산 g(0)에서 t=0은 0≤t<1 구간에 속하므로 g(0)=3입니다. 경계값을 −1≤t<0 구간으로 착각해 2로 쓰지 않도록 주의하세요.
엄선된 풀이 영상
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