TOUGH
구간별로 정의된 함수의 연속
극한값을 이용한 미정계수
출제의도
이 문항은 구간별로 정의된 함수 g(x)가 실수 전체에서 연속이 되기 위한 조건을 경계점 x=−1과 x=0에서 각각 식으로 세우고, 그 조건으로 이차함수 f(x)를 결정할 수 있는지 확인합니다. 두 경계점에서 얻는 정보가 서로 다르다는 점을 파악하는 것이 핵심입니다.
x=−1에서는 분자의 인수 x+1 때문에 극한이 0이 되기 쉬운데, 이를 2f(−1)과 비교하는 과정에서 f(−1)=0이 강제됩니다. 이어서 0/0 꼴을 약분해 f(x)의 두 근을 모두 찾고, x=0에서의 연속 조건으로 최고차항의 계수를 정하는 흐름입니다.
단계별 힌트
각 구간 안에서는 식이 다항식이거나 다항식의 분수식이므로, 확인할 곳은 경계점 x=−1과 x=0입니다. 두 점에서 각각 (좌극한)=(우극한)=(함숫값)이 성립해야 합니다. 또 −1<x<0에서 분모 f(x)가 0이 되면 g(x)가 정의되지 않는다는 점도 기억하세요.
먼저 x=−1에서 우극한을 살펴보세요. x→−1+일 때 분자의 x+1은 0으로 갑니다. 이때 분모 f(x)는 어떤 값으로 가야 할까요?
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
f(−1)≠0이라고 가정하면 우극한은 0×f(−2)f(−1)=0인데, 함숫값은 2f(−1)≠0이 되어 모순입니다. 따라서 f(−1)=0이어야 합니다.
그러면 f(x)=(x+1)(ax+b)로 놓을 수 있고, f(2x)=(2x+1)(2ax+b)입니다. 이를 대입하면 분자와 분모의 x+1이 약분됩니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
약분한 식 (2x+1)(2ax+b)ax+b의 x→−1+ 극한이 2f(−1)=0이 되도록 a와 b의 관계를 구하세요. 그러면 f(x)가 a(x+1)(x+□) 꼴로 정해집니다.
마지막으로 x=0에서 좌극한과 2f(0)이 같다는 식으로 a를 구한 뒤 f(11)을 계산하세요.
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정답 39
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A연속 조건을 세 가지로 정리하기
g(x)가 실수 전체에서 연속이려면 x=−1에서 연속, x=0에서 연속이어야 하고, −1<x<0인 모든 x에 대하여 f(x)≠0이어야 합니다. x=−1에서는 limx→−1+(x+1)f(2x)f(x)=2f(−1) ······ ㉠, x=0에서는 limx→0−(x+1)f(2x)f(x)=2f(0) ······ ㉡이 성립합니다.
STEP B㉠에서 f(−1)=0 끌어내기
f(−1)≠0이면 ㉠의 좌변은 0×f(−2)f(−1)=0이고 우변은 2f(−1)≠0이므로 모순입니다. 따라서 f(−1)=0이고, f(x)=(x+1)(ax+b) (a≠0)로 놓을 수 있습니다.
STEP C약분 후 극한값 0 조건으로 b=2a 구하기
㉠의 좌변은 limx→−1+(x+1)(2x+1)(2ax+b)(x+1)(ax+b)=limx→−1+(2x+1)(2ax+b)ax+b이고, 이 값이 0이어야 합니다. 분자의 극한 −(−2a+b)=0에서 b=2a이며, 이때 분모의 극한은 a≠0이므로 조건을 만족합니다. 따라서 f(x)=a(x+1)(x+2)이고, 두 근이 −1, −2이므로 −1<x<0에서 f(x)≠0도 성립합니다.
STEP D㉡에서 a 구하고 f(11) 계산하기
㉡의 좌변은 limx→0−(2x+1)(2x+2)x+2=1이고, 우변은 2f(0)=2×2a=4a입니다. 1=4a에서 a=14이므로 f(x)=14(x+1)(x+2)이고, f(11)=14×12×13=39입니다.
1등급 다른 풀이 · 나머지 근 k 하나만 미지수로 놓기
f(−1)=0을 얻은 뒤 f(x)=a(x+1)(x−k)로 놓으면, −1<x<0에서 g(x)=(2x+1)(2x−k)x−k로 a가 완전히 사라집니다. x→−1+일 때 이 값은 (−1)(−2−k)−1−k이고, 이것이 2f(−1)=0이어야 하므로 k=−2입니다. 즉 x=−1의 연속 조건은 f(x)의 나머지 근만 결정합니다.
x=0에서는 약분할 필요도 없습니다. f(0)≠0이므로 x→0일 때 (x+1)f(2x)f(x)은 1×f(0)f(0)=1로 바로 갑니다. 따라서 2f(0)=1, 즉 f(0)=12이고, f(0)=a×1×2=2a에서 a=14입니다. 경계점마다 “근을 정하는 조건”과 “계수를 정하는 조건”으로 역할을 나누어 보면 계산이 훨씬 가벼워집니다.
실수를 줄이는 전략
- x→−1+일 때 분자에 x+1이 있다고 해서 곧바로 “극한값은 0″이라고 단정하면 안 됩니다. 분모 f(x)도 0으로 가는 0/0 꼴일 수 있으므로 f(−1)=0인 경우와 아닌 경우를 나누어 따져야 합니다.
- f(2x)를 쓸 때는 x만 2x로 바꿉니다. f(x)=(x+1)(ax+b)이면 f(2x)=(2x+1)(2ax+b)이고, b까지 2b로 바꾸는 실수를 조심하세요.
- 약분 후 분모 ax+b의 극한이 0이 되지 않는지 반드시 확인하세요. b=a, 즉 f(x)=a(x+1)2이면 분모가 다시 0으로 가서 극한이 발산합니다. b=2a일 때는 분모의 극한이 a≠0이므로 문제없습니다.
- x=0에서 우변은 f(0)이 아니라 2f(0)입니다. 2배를 빠뜨려 1=2a로 풀면 a=12, f(11)=78이라는 오답이 나옵니다.
- −1<x<0에서 f(x)≠0이라는 조건은 문제에 직접 쓰여 있지 않지만, g(x)가 정의되기 위한 숨은 조건입니다. 최종 f(x)의 근 −1, −2가 이 구간 안에 없는지 마지막에 점검하세요.
엄선된 풀이 영상
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