빈출 유형
분수 꼴 함수의 연속
판별식 D<0
출제의도
이 문항은 “분수 꼴 함수는 분모가 0이 되는 x에서 정의되지 않으므로 그 점에서 연속일 수 없다”는 원리를 적용할 수 있는지 확인합니다. f(x)=x−12x2+nx+3가 실수 전체에서 연속이려면 분모가 어떤 실수 x에서도 0이 되지 않아야 합니다.
“모든 실수 x에 대하여 2x2+nx+3≠0″이라는 조건을 이차방정식의 판별식 D<0으로 바꾸는 것이 핵심이고, 그 부등식을 만족하는 자연수 중 가장 큰 값을 찾으면 됩니다.
단계별 힌트
분수 꼴 함수에서 연속이 깨질 수 있는 곳은 어디일까요? 분모가 0이 되는 x에서는 함숫값 자체가 정의되지 않습니다. 실수 전체에서 연속이려면 분모가 어떤 조건을 만족해야 할지 생각해 보세요.
힌트 2단계 · 사용할 성질 누르면 힌트가 열려요
모든 실수 x에 대하여 2x2+nx+3≠0이어야 합니다. 즉, 이차방정식 2x2+nx+3=0이 실근을 갖지 않아야 합니다.
이차방정식이 실근을 갖지 않을 조건은 판별식 D<0입니다.
힌트 3단계 · 마지막 한 걸음 (계산은 직접 해보세요) 누르면 힌트가 열려요
D=b2−4ac에 a=2, b=n, c=3을 넣어 n에 대한 부등식을 세우세요. 그다음 42, 52와 비교해 부등식을 만족하는 가장 큰 자연수를 찾으면 됩니다.
정답 확인 누르면 정답이 보여요
정답 ① 4
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A연속 조건을 분모 조건으로 바꾸기
f(x)가 실수 전체에서 연속이려면 분모가 0이 되는 x가 없어야 하므로, 모든 실수 x에 대하여 2x2+nx+3≠0이어야 합니다.
STEP B판별식 D<0으로 부등식 세우기
이차방정식 2x2+nx+3=0이 실근을 갖지 않아야 하므로 D=n2−4×2×3=n2−24<0, 즉 n2<24입니다.
STEP C자연수 n의 최댓값 구하기
42=16<24, 52=25>24이므로 조건을 만족하는 자연수 n은 1, 2, 3, 4이고 최댓값은 4입니다. 정답은 ①입니다.
1등급 다른 풀이 · 분모의 최솟값으로 확인하기
분모 y=2x2+nx+3의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이므로, 최솟값이 양수이면 분모는 절대 0이 되지 않습니다. 완전제곱식으로 바꾸면 2x2+nx+3=2(x+n4)2+3−n28이고, 최솟값 3−n28>0에서 n2<24로 판별식과 같은 결과가 나옵니다.
선택지를 검산하는 것도 좋은 습관입니다. n=5이면 2x2+5x+3=(2x+3)(x+1)이므로 x=−1, x=−32에서 분모가 0이 되어 f(x)가 정의되지 않습니다. 따라서 5는 안 되고 4가 최댓값임을 직접 확인할 수 있습니다.
실수를 줄이는 전략
- 판별식을 계산할 때 4ac에서 이차항의 계수 2를 빠뜨려 D=n2−12로 쓰는 실수가 있습니다. D=n2−4×2×3=n2−24입니다.
- n2<24에서 √24≈4.9이므로 반올림해서 5를 고르면 안 됩니다. 52=25는 24보다 크므로 조건을 만족하지 않습니다.
- 조건은 D≤0이 아니라 D<0입니다. D=0이면 중근에서 분모가 0이 되어 그 점에서 함수가 정의되지 않습니다.
- 분자 x−1이 0이 되는 x=1은 연속성과 관계가 없습니다. 분수 꼴 함수의 연속을 따질 때는 분모만 확인하면 됩니다.